norme

Sur un quadrillage, le vecteur qui avance de 3 cases et descend de 4 cases relie deux points éloignés de 5 cases à vol d'oiseau. Une norme attribue ainsi une taille à chaque vecteur. Cette taille ne devient nulle que pour le vecteur nul. Multiplier le vecteur par 2 double sa taille, tandis qu'un trajet en deux mouvements ne peut pas être plus court que le déplacement direct.

Soit E un espace vectoriel sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes. Une norme est une application, notée n, qui associe à chaque vecteur x de E un nombre réel positif ou nul.

Elle satisfait trois conditions. La séparation impose que $n(x)=0⟺x=0_{E}n(x)=0\; \backslash Longleftrightarrow\; x=0\_E$, où 0_E est le vecteur nul. L'inégalité triangulaire impose $n(x+y)\le n(x)+n(y)n(x+y)\backslash leq\; n(x)+n(y)$ pour tous vecteurs x et y. L'homogénéité absolue impose $n(kx)=\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }n(x)n(kx)=|k|\backslash ,n(x)$ pour tout scalaire k de K. La valeur n(x) est donc toujours positive ou nulle.

Une norme matricielle mesure les éléments d'un espace de matrices. Une norme d'opérateur, aussi appelée norme subordonnée, mesure une application linéaire continue entre deux espaces vectoriels normés à partir des normes choisies sur ces espaces.

Dans le plan réel muni de la norme euclidienne, prenons le vecteur x de coordonnées (3, −4) et le vecteur y de coordonnées (−3, 0). Les données sont donc les composantes 3 et −4 de x, puis −3 et 0 de y. La figure matérialise les deux composantes de x et la longueur obtenue.

1. Calculons la norme de x :

2. Pour le scalaire −2, le vecteur −2x a pour coordonnées (−6, 8). Sa norme vaut $\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=10=\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }\times 5\backslash sqrt\{(-6)^2+8^2\}=10=|-2|\backslash times5$. L'homogénéité est vérifiée dans ce cas.

3. La somme x + y a pour coordonnées (0, −4), donc une norme égale à 4. Comme la norme de y vaut 3, on obtient exactement $\mathrm{\parallel }x+y{\mathrm{\parallel }}_2=4\le 5+3=\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2+\mathrm{\parallel }y{\mathrm{\parallel }}_2\backslash |x+y\backslash |\_2=4\backslash leq5+3=\backslash |x\backslash |\_2+\backslash |y\backslash |\_2$.

Le résultat principal est donc une norme de 5 pour x. On peut refaire le contrôle avec le triplet 3, 4, 5 : 3² + 4² = 5².

Dans le plan, la norme euclidienne donne la longueur directe d'un vecteur. Pour x = (3, −4), elle fournit 5. Si l'on veut plutôt additionner séparément les déplacements horizontaux et verticaux, une autre norme peut être mieux adaptée.

Pour une matrice, une norme matricielle résume sa taille par un nombre. Lorsque l'objectif est d'estimer l'amplification maximale produite par une application linéaire, on préfère une norme d'opérateur subordonnée aux normes des espaces de départ et d'arrivée.

Avant de comparer deux vecteurs, il faut vérifier qu'ils sont évalués avec la même norme. Deux normes différentes peuvent attribuer des valeurs différentes au même vecteur sans qu'aucun calcul soit erroné.

Norme et valeur absolue. La valeur absolue s'applique à un scalaire réel ou complexe, tandis qu'une norme s'applique aux vecteurs d'un espace vectoriel. Sur la droite réelle, la valeur absolue constitue précisément une norme, ce qui explique la proximité.

Norme et distance. Une norme donne la taille d'un vecteur. Une distance compare deux points : à partir d'une norme n, elle s'écrit $d(x,y)=n(x-y)d(x,y)=n(x-y)$. Pour x = (3, −4) et l'origine, la distance associée à la norme euclidienne vaut 5 parce que leur différence est x.

Norme et produit scalaire. Un produit scalaire associe un nombre à deux vecteurs et permet de définir des angles. Il engendre une norme par $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=\sqrt{⟨x,x⟩}\backslash |x\backslash |=\backslash sqrt\{\backslash langle\; x,x\backslash rangle\}$, mais toute norme ne provient pas nécessairement d'un produit scalaire.

Une fonction seulement positive ne suffit pas. Si une fonction vaut 0 pour un vecteur non nul, elle ne sépare pas ce vecteur de l'origine : il s'agit au mieux d'une semi-norme. Il faut contrôler l'équivalence n(x) = 0 si et seulement si x est nul.

L'homogénéité utilise la valeur absolue. Avec le scalaire −2 et x = (3, −4), la norme de −2x vaut 10, et non −10. Omettre la valeur absolue produirait une prétendue taille négative.

Le mot « norme » ne fixe pas une formule unique. Pour x = (3, −4), la norme euclidienne vaut 5, tandis que la somme des valeurs absolues des coordonnées vaut 7. Il faut annoncer la norme choisie avant tout calcul ou comparaison.

Une norme matricielle n'est pas automatiquement subordonnée. Le premier terme désigne une norme sur un espace de matrices. Le second ajoute un lien précis avec l'action de la matrice sur des vecteurs normés ; il faut vérifier ce lien avant d'employer les deux noms comme synonymes.

L'espace vectoriel précise le cadre dans lequel les vecteurs s'additionnent et se multiplient par des scalaires.

Le produit scalaire montre comment une structure plus riche peut engendrer une norme et donner accès aux angles.

La norme d'opérateur approfondit la mesure de l'amplification produite par une application linéaire entre espaces normés.