AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
norme d'une matrice
Une norme matricielle associe à chaque matrice un nombre réel positif qui mesure sa taille. Soit n ≥ 1 et K = ℝ ou ℂ ; Mₙ(K) désigne l’algèbre des matrices carrées de taille n à coefficients dans K. Une norme matricielle sur Mₙ(K) est une application ‖·‖ de Mₙ(K) dans ℝ₊ vérifiant : (1) pour toute matrice A, ‖A‖ ≥ 0 et ‖A‖ = 0 si et seulement si A est la matrice nulle ; (2) pour toutes matrices A et B, ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ ; (3) pour toute matrice A et tout scalaire k, ‖kA‖ = |k| · ‖A‖ ; (4) pour toutes matrices A et B, ‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖ (certaines normes satisfont l’égalité).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les quatre propriétés qui caractérisent une norme matricielle.
- Calculer la norme de Frobenius d'une matrice 2×2 et contrôler l'homogénéité.
- Choisir entre norme de Frobenius, norme par lignes et norme subordonnée selon l'usage.
- Distinguer une norme matricielle d'un déterminant et d'un rayon spectral.
En clair
Une matrice peut contenir beaucoup de nombres : il est utile de résumer leur taille par une seule valeur. Une norme matricielle joue ce rôle, comme une longueur pour un vecteur. Elle vaut zéro seulement pour la matrice nulle et sa valeur est multipliée par la valeur absolue du facteur commun quand tous les coefficients sont multipliés par un même nombre. Elle ne grossit pas excessivement lors d'une addition ou d'un produit.
Définition
Soit Mn(K) l'ensemble des matrices carrées de taille n dont les coefficients appartiennent au corps K, égal à ℝ ou ℂ. Une norme matricielle est une application qui associe à chaque matrice A un réel positif ou nul, noté .
Pour toutes matrices A et B et tout scalaire λ, quatre conditions sont exigées. La séparation impose . L'inégalité triangulaire impose . L'homogénéité impose . Enfin, la sous-multiplicativité impose .
Il existe plusieurs normes matricielles. Si aij désigne le coefficient de la ligne i et de la colonne j, la norme de Frobenius vaut . Les normes subordonnées proviennent d'une norme choisie sur les vecteurs et mesurent l'amplification maximale produite par A. En dimension finie, ces normes sont équivalentes au sens topologique, mais elles ne donnent généralement pas la même valeur numérique.
De quoi c'est fait
Une norme matricielle réunit six éléments. Son domaine fixe la taille des matrices et le corps ℝ ou ℂ. Sa valeur est un réel positif ou nul. La séparation réserve zéro à la matrice nulle. L'inégalité triangulaire contrôle l'addition, tandis que l'homogénéité relie la multiplication par un scalaire à sa valeur absolue. La sous-multiplicativité contrôle enfin le produit de matrices.
Les trois premières propriétés font déjà de l'application une norme sur l'espace vectoriel des matrices. La dernière dépend en plus de la multiplication matricielle et transforme cette norme en outil adapté à l'algèbre. Ensemble, ces données suffisent à comparer des matrices, majorer une somme et propager une borne à travers un produit.
Un exemple, pas à pas
Considérons la matrice carrée A à deux lignes, dont la première ligne contient 1 et −1, et la seconde 2 et 0. Nous cherchons sa norme de Frobenius. Les quatre données sont donc les coefficients 1, −1, 2 et 0.
1. Chaque coefficient est remplacé par le carré de sa valeur absolue : 12 = 1, |−1|2 = 1, 22 = 4 et 02 = 0.
2. La somme de ces quatre carrés vaut 1 + 1 + 4 + 0 = 6.
3. La racine carrée donne le résultat . Cette valeur n'a pas d'unité puisque les coefficients n'en ont pas.
Un contrôle immédiat consiste à multiplier A par −3 : les carrés sont alors multipliés par 9, puis la racine par 3. La norme obtenue est donc 3√6, conformément à l'homogénéité. Le calcul peut aussi se lire comme l'addition des contributions des quatre cases de la matrice.
En pratique
Pour mesurer globalement l'écart entre deux tableaux de coefficients de même taille, on calcule la norme de leur différence. La norme de Frobenius est naturelle lorsque toutes les cases doivent contribuer ; la norme par lignes est préférable si la plus forte accumulation d'erreurs sur une ligne importe.
Pour estimer l'effet d'une matrice sur des vecteurs, une norme subordonnée est plus informative. Le choix de la norme vectorielle fixe alors le critère observable : somme des amplitudes, amplitude maximale ou longueur euclidienne.
Dans un calcul comportant plusieurs produits matriciels, la sous-multiplicativité fournit une borne à chaque étape. Un calcul exact des coefficients reste préférable lorsque la matrice est petite et que la valeur précise, plutôt qu'une majoration, est nécessaire.
À ne pas confondre
Norme vectorielle. Elle s'applique à un vecteur, tandis qu'une norme matricielle s'applique à une matrice et doit en plus contrôler le produit matriciel. Pour un vecteur colonne, la multiplication de deux objets du même type n'est pas définie : le critère de sous-multiplicativité ne se pose donc pas de la même façon.
Déterminant. Le déterminant peut être négatif ou complexe et s'annule pour toute matrice singulière, même non nulle. Par exemple, une matrice non nulle dont une ligne est nulle a un déterminant nul, mais toute norme matricielle est strictement positive.
Rayon spectral. Il est le plus grand module des valeurs propres. Une matrice nilpotente non nulle a un rayon spectral nul, ce qui interdit d'en faire une norme sur toutes les matrices, alors que sa norme matricielle reste positive.
Limites et pièges
Le résultat dépend de la norme choisie. Pour la matrice A de l'exemple, le maximum des sommes absolues par colonne vaut 3, celui des sommes absolues par ligne vaut 2 et la norme de Frobenius vaut √6. Il faut donc nommer la norme avant de comparer des valeurs.
La sous-multiplicativité est généralement une inégalité stricte. Pour la même matrice, le carré A2 a pour lignes (−1, −1) et (2, −2), donc . Une égalité peut survenir pour certains couples de matrices, mais elle ne doit pas être supposée à chaque produit.
Une formule de norme n'est pas automatiquement sous-multiplicative avec la constante 1. Il faut vérifier cette propriété avant de l'utiliser sur un produit. Une simple norme d'espace vectoriel peut seulement fournir une borne avec une constante dépendant de la dimension.
Les matrices rectangulaires sortent du cadre algébrique de la définition source. Elles possèdent aussi des normes, mais leur produit n'est défini que pour des tailles compatibles. Il faut alors préciser les espaces de départ et d'arrivée au lieu de parler d'une seule algèbre de matrices carrées.
Pour aller plus loin
norme — Retrouvez le cadre commun des normes et la notion de longueur dont le cas matriciel hérite.
valeur propre — Reliez l'action d'une matrice aux directions qu'elle conserve à un facteur près.
Rayon spectral — Comparez une mesure issue des valeurs propres aux bornes fournies par les normes matricielles.
Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire — Replacez les matrices dans le langage des applications linéaires qu'elles représentent.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres