Groupe linéaire

Imaginez un quadrillage que l’on étire, incline ou retourne sans jamais l’écraser sur une ligne. Une matrice décrit cette transformation. Si chaque point peut ensuite retrouver sa place par une transformation inverse, la matrice appartient au groupe linéaire.

Le mot « groupe » exprime deux faits essentiels : enchaîner deux transformations réversibles en donne encore une, et chacune possède une opération qui l’annule. La matrice identité joue le rôle de l’action qui ne change rien.

Soit un entier positif n et un corps K, par exemple le corps des nombres réels ℝ ou celui des nombres complexes ℂ. Le groupe linéaire général, noté $GL(n,K)GL(n,K)$, réunit toutes les matrices carrées de taille n à coefficients dans K qui sont inversibles. Une matrice est inversible exactement lorsque son déterminant n’est pas nul.

La loi du groupe est la multiplication matricielle. Son élément neutre est la matrice identité, et l’inverse d’une matrice est son inverse matriciel. Cette description équivaut à voir $GL(n,K)GL(n,K)$ comme l’ensemble des automorphismes de l’espace vectoriel $K^{n}K^n$, c’est-à-dire de ses transformations linéaires bijectives.

Le groupe linéaire spécial, noté $SL(n,K)SL(n,K)$, est formé des éléments de $GL(n,K)GL(n,K)$ dont le déterminant vaut 1. Lorsque K est ℝ ou ℂ, ces ensembles portent aussi une structure de groupe de Lie. En particulier, $GL(n,\mathbb{R})GL(n,\backslash mathbb\{R\})$ sert de groupe de structure aux fibrés vectoriels réels de rang n.

La structure dépend d’abord du corps K, qui fournit les coefficients, puis de la taille n, qui fixe la dimension de l’espace vectoriel. Ses éléments sont les matrices carrées inversibles de cette taille. La multiplication matricielle compose leurs transformations : l’ordre des facteurs indique l’ordre des actions.

La matrice identité laisse tous les vecteurs inchangés. Chaque élément possède une matrice inverse, qui défait exactement son action. Le déterminant teste cette réversibilité : une valeur non nulle caractérise les éléments de $GL(n,K)GL(n,K)$, tandis que la valeur 1 sélectionne $SL(n,K)SL(n,K)$. Ces données suffisent à composer les transformations, retrouver leur inverse et décider à quel groupe une matrice appartient.

Dans le plan réel, considérons la matrice A et le vecteur colonne X. Les données sont les coefficients 2, 1, 1 et 1 de A, ainsi que les coordonnées x et y de X.

1. Calculons le déterminant de A : $2\times 1-1\times 1=12\backslash times1-1\backslash times1=1$. Comme ce résultat n’est pas nul, A appartient à $GL(2,\mathbb{R})GL(2,\backslash mathbb\{R\})$. Comme il vaut précisément 1, A appartient aussi à $SL(2,\mathbb{R})SL(2,\backslash mathbb\{R\})$.

2. Appliquons A au vecteur X. La transformation envoie les coordonnées x et y sur les coordonnées 2x + y et x + y.

3. L’inverse candidat échange les rôles en annulant cette action.

4. Le contrôle donne la matrice identité de taille 2, ce qui confirme à la fois le calcul de l’inverse et la réversibilité de la transformation. La figure associée offre un contrôle géométrique : le carré unité devient un parallélogramme d’aire 1.

Pour changer de base dans un espace vectoriel, la matrice de passage doit être inversible : elle conserve toute l’information nécessaire pour revenir aux coordonnées initiales. Une matrice singulière ne convient pas, car elle écrase au moins une direction.

Pour composer des transformations linéaires réversibles, on multiplie leurs matrices dans l’ordre correspondant aux actions. Si la transformation doit en plus avoir un déterminant égal à 1, on travaille dans le groupe linéaire spécial plutôt que dans tout le groupe linéaire général.

En géométrie différentielle, $GL(n,\mathbb{R})GL(n,\backslash mathbb\{R\})$ organise les changements de repères locaux d’un fibré vectoriel réel de rang n. Le critère observable reste la réversibilité du changement de repère : les descriptions locales doivent pouvoir se convertir dans les deux sens.

Groupe linéaire et ensemble de toutes les matrices carrées. Le premier ne contient que les matrices inversibles. La matrice nulle est carrée, mais son déterminant nul l’exclut de $GL(n,K)GL(n,K)$.

Groupe linéaire général et groupe linéaire spécial. Le second exige un déterminant égal à 1. La matrice réelle diagonale de coefficients 2 et 1 est inversible, donc dans $GL(2,\mathbb{R})GL(2,\backslash mathbb\{R\})$, mais son déterminant 2 l’exclut de $SL(2,\mathbb{R})SL(2,\backslash mathbb\{R\})$.

Application linéaire et automorphisme. Une application linéaire peut perdre de l’information ; un automorphisme est bijectif. Dans le plan, la projection sur un axe est linéaire, mais elle n’a pas d’inverse et ne représente donc aucun élément du groupe linéaire.

Déterminant nul. Dès que le déterminant vaut 0, la matrice sort du groupe linéaire : aucune matrice inverse n’existe. Il faut alors étudier une application linéaire non bijective, son noyau ou son image, au lieu de chercher un inverse.

Ordre des facteurs. À partir de la taille 2, la multiplication matricielle n’est généralement pas commutative. Intervertir deux matrices peut changer la transformation composée ; il faut donc traduire explicitement l’ordre dans lequel les applications agissent.

Taille 1. Le groupe $GL(1,K)GL(1,K)$ se réduit aux éléments non nuls du corps K, munis de la multiplication. Ce cas est commutatif et ne reflète pas le comportement général des matrices de taille supérieure.

Structure de groupe de Lie. La description topologique usuelle de la source concerne les coefficients réels ou complexes. Sur ℝ, le signe du déterminant sépare $GL(n,\mathbb{R})GL(n,\backslash mathbb\{R\})$ en deux composantes ; passer continûment de l’une à l’autre obligerait le déterminant à traverser 0 et à quitter le groupe.

La notion d’espace vectoriel précise le cadre sur lequel agissent les matrices de $GL(n,K)GL(n,K)$ et donne un sens intrinsèque aux changements de coordonnées.

Le groupe de Lie ajoute une structure géométrique lisse à la structure de groupe lorsque les coefficients sont réels ou complexes. Cette double lecture relie algèbre, topologie et géométrie différentielle.