groupe de Lie

Imaginez un bouton que l’on tourne sans à-coup. Chaque angle décrit une rotation, deux rotations successives se composent, et tourner dans l’autre sens annule le mouvement. L’ensemble de ces rotations forme un groupe de Lie : un espace continu dont les points sont aussi des transformations que l’on peut multiplier et inverser.

Le cercle unité U(1) en donne une image concrète. Ses points varient continûment, tandis que la multiplication des nombres complexes combine les rotations. La géométrie de l’espace et le calcul de groupe fonctionnent ainsi ensemble.

Un groupe de Lie est un ensemble, noté G, muni à la fois d’une structure de groupe et d’une structure de variété différentielle. La loi associe à deux éléments de G leur produit, l’élément neutre ne change aucun élément, et chaque élément possède un inverse. La variété fournit localement des coordonnées réelles ou complexes.

Ces structures doivent être compatibles : l’application qui envoie un couple (g, h) sur le produit gh, de G × G vers G, et celle qui envoie g sur son inverse g⁻¹ sont lisses, c’est-à-dire de classe C^∞. Dans le cas complexe, la variété est complexe et ces applications sont holomorphes. Une structure analytique réelle compatible peut également être considérée, mais elle ne constitue pas une exigence de la définition générale. Cette régularité autorise le calcul différentiel tout en préservant la loi de groupe.

Les réels munis de l’addition, le cercle unité U(1), le groupe des matrices inversibles GL(n, ℝ), le groupe orthogonal O(n) et le groupe unitaire U(n) sont des exemples élémentaires. La théorie, développée par Sophus Lie à la fin du XIX^e siècle, associe à chaque groupe de Lie une algèbre de Lie qui décrit sa structure infinitésimale.

Quatre éléments forment la structure. La variété donne des coordonnées locales et une dimension. La loi de groupe combine deux points. L’élément neutre sert d’origine algébrique. L’inverse défait l’action de chaque élément.

La loi et l’inverse dépendent de la variété : exprimés dans ses coordonnées, ils doivent être lisses. L’analyticité peut être imposée dans un cadre plus fort. Réciproquement, la loi transporte la géométrie locale autour du neutre vers tout le groupe. Ces données suffisent à composer des transformations continues et à étudier leurs variations près du neutre. Une représentation graphique, une couleur ou une échelle ne définit pas le groupe de Lie ; seules comptent la variété, la loi et leur compatibilité.

Prenons le cercle unité U(1), dont les éléments sont les nombres complexes de module 1. Données : le premier point est z = e^iπ/3, le second est w = e^iπ/6, la loi est la multiplication complexe et le neutre vaut 1.

1. Les angles π/3 et π/6 repèrent deux points du cercle. Ils décrivent respectivement des rotations de 60° et 30°.

2. Multiplions les deux éléments. Les angles s’additionnent : $zw=e^{i(\pi \mathrm{/}3+\pi \mathrm{/}6)}=e^{i\pi \mathrm{/}2}=izw=e^\{i(\backslash pi/3+\backslash pi/6)\}=e^\{i\backslash pi/2\}=i$. Le produit reste sur U(1).

3. L’inverse de z correspond à la rotation opposée : $z^{-1}=e^{-i\pi \mathrm{/}3}z^\{-1\}=e^\{-i\backslash pi/3\}$.

4. Le contrôle consiste à recomposer z avec son inverse : $z{z}^{-1}=e^{i\pi \mathrm{/}3}{e}^{-i\pi \mathrm{/}3}=e^0=1zz^\{-1\}=e^\{i\backslash pi/3\}e^\{-i\backslash pi/3\}=e^0=1$. On retrouve exactement le neutre.

Le cercle permet donc de suivre géométriquement la composition et l’inversion : additionner les angles multiplie les éléments, et changer le signe de l’angle prend l’inverse.

Pour décrire des rotations qui varient continûment, on compose des éléments d’un groupe de Lie. Un groupe fini convient plutôt lorsque seules quelques orientations isolées sont possibles.

En physique mathématique, une famille continue de symétries se traite par son groupe de Lie. Le cercle U(1) convient lorsqu’un angle suffit ; des groupes de matrices comme O(n) ou U(n) sont adaptés lorsque la symétrie agit sur plusieurs coordonnées.

Pour étudier un comportement au voisinage de l’identité, on passe à l’algèbre de Lie associée. Elle concentre l’information infinitésimale ; le groupe reste nécessaire lorsque la structure globale ou la composition de transformations finies importe.

Groupe de Lie et algèbre de Lie. Le groupe porte une loi globale sur une variété ; l’algèbre associée décrit les directions infinitésimales près du neutre. Pour U(1), multiplier deux rotations relève du groupe, tandis qu’étudier leur variation angulaire au voisinage de 1 relève de l’algèbre.

Groupe de Lie et simple groupe abstrait. Un groupe abstrait exige une loi, un neutre et des inverses, mais aucune variété. Dès que l’on veut dériver les opérations ou parler de coordonnées locales, la structure de groupe seule ne suffit plus.

Groupe de Lie et groupe topologique. Dans un groupe topologique, produit et inverse sont continus. Un groupe de Lie demande en plus une variété différentielle et la régularité lisse prescrite par la définition. L’analyticité relève d’une structure supplémentaire.

Continuité ne signifie pas connexité. Un groupe de Lie peut avoir plusieurs composantes. Le groupe orthogonal O(n) sépare notamment les matrices selon que leur déterminant vaut 1 ou −1 ; il ne faut donc pas supposer qu’un chemin continu relie tous ses éléments au neutre.

Le cas de dimension zéro compte aussi. Un groupe discret qui porte une structure de variété de dimension 0 compatible avec sa loi est un groupe de Lie. L’expression « symétrie continue » décrit le rôle central de la théorie, mais n’exclut pas ce cas limite.

L’algèbre ne restitue pas toujours la géométrie globale. Les groupes (ℝ, +) et U(1) ont tous deux une algèbre de Lie réelle de dimension 1, mais le premier est une droite et le second un cercle. Il faut conserver le groupe lorsque la topologie globale importe.

Une écriture matricielle n’est pas obligatoire. GL(n, ℝ), O(n) et U(n) sont des exemples importants, non le modèle exclusif. Avant de manipuler des matrices, il faut vérifier qu’une représentation matricielle a bien été choisie.

L’algèbre de Lie prolonge l’étude au voisinage du neutre et montre comment la structure infinitésimale encode les petites transformations.

Le Groupe orthogonal fournit un cas matriciel où les transformations préservent la géométrie euclidienne et où plusieurs composantes apparaissent.