cohomologie

Imaginez que vous parcouriez un cercle et que vous vouliez attribuer un angle réel à chaque point. Sur un petit arc, cela fonctionne. Après un tour complet, pourtant, l’angle a augmenté de 2π alors que vous êtes revenu au même point. Les descriptions locales ne se recollent donc pas toujours en une description unique sur tout l’espace.

La cohomologie enregistre précisément ce genre d’obstacle. Chaque degré repère un type de structure globale qui peut subsister malgré des données localement compatibles.

Une théorie cohomologique associe à un espace ou à un objet algébrique une suite de groupes abéliens indexés par un entier appelé le degré. Elle part généralement d’un complexe de cochaînes : des groupes reliés par des applications successives, nommées différentielles, dont toute composition de deux applications consécutives est nulle. Si la différentielle de degré k est notée d^k, cette condition s’écrit $d^{k+1}\circ d^k=0d^\{k+1\}\backslash circ\; d^k=0$.

Les cochaînes annulées par d^k sont les cocycles. Celles qui proviennent de la différentielle précédente sont les cobords. La condition précédente garantit que tout cobord est un cocycle. Le groupe de cohomologie de degré k, noté H^k, mesure alors les cocycles qui ne sont pas des cobords : Un groupe non nul signale qu’une donnée fermée ou localement compatible peut ne pas provenir d’une donnée globale du degré précédent. La lecture exacte de cette obstruction dépend toutefois de la théorie et du degré considérés.

Le complexe choisi dépend du contexte. La cohomologie de De Rham utilise les formes différentielles sur une variété différentielle. La cohomologie de Čech organise des données définies sur les ouverts d’un recouvrement. La cohomologie de Hochschild concerne les algèbres, tandis que la cohomologie étale est adaptée à des objets de géométrie algébrique. Ces constructions ne partent pas des mêmes cochaînes, mais elles cherchent toutes une information globale stable sous les équivalences pertinentes de leur cadre.

Prenons le cercle unité, dont chaque point a pour coordonnées réelles x et y avec x² + y² = 1. La forme différentielle ω vaut −y dx + x dy sur ce cercle. Un parcours est donné par le paramètre réel t allant de 0 à 2π, avec $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)\backslash gamma(t)=(\backslash cos\; t,\backslash sin\; t)$. Le schéma matérialise ce parcours fermé et la valeur accumulée en un tour.

Données.
Le point de départ et d’arrivée est (1, 0).
Le paramètre t parcourt l’intervalle de 0 à 2π.
La forme étudiée est ω = −y dx + x dy.

1. Le long du parcours, x = cos t et y = sin t. Leurs différentielles valent dx = −sin t dt et dy = cos t dt.

2. En substituant ces expressions, la forme devient $\omega =({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)dt=dt\backslash omega=(\backslash sin^2\; t+\backslash cos^2\; t)\backslash ,dt=dt$.

3. Son intégrale sur un tour vaut donc ${\int }_{S^1}\omega ={\int }_0^{2\pi }dt=2\pi \backslash int\_\{S^1\}\backslash omega=\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}dt=2\backslash pi$. Si ω était la différentielle d’une fonction réelle définie sur tout le cercle, cette intégrale sur un parcours fermé vaudrait 0. Le résultat 2π exclut cette possibilité : ω représente une classe non nulle de H¹ de De Rham du cercle à coefficients réels. Le contrôle consiste à refaire la substitution et à vérifier l’identité sin² t + cos² t = 1.

Sur une variété différentielle, la cohomologie de De Rham sert à décider si une forme fermée possède une primitive globale. Si le problème est formulé avec des dérivées et des formes différentielles, elle est plus directe qu’une construction fondée sur un recouvrement d’ouverts.

Lorsque les données sont définies morceau par morceau sur des ouverts et doivent être recollées, la cohomologie de Čech rend visibles leurs désaccords sur les intersections. Le choix est naturel quand le recouvrement fait déjà partie du problème.

Pour une algèbre, la cohomologie de Hochschild étudie des cochaînes compatibles avec sa multiplication. Elle remplace les théories topologiques lorsque l’objet observé est d’abord une structure algébrique.

En géométrie algébrique, la topologie ordinaire ne capte pas toujours l’information recherchée. La cohomologie étale emploie alors des recouvrements adaptés au cadre algébrique ; le type d’objet et les invariants visés déterminent ce choix.

Cohomologie et homologie. L’homologie est construite à partir de chaînes et d’un opérateur de bord qui diminue le degré. La cohomologie emploie des cochaînes et une différentielle qui augmente le degré. Pour le cercle, les deux détectent un phénomène de dimension 1, mais leurs objets et leurs opérations ne sont pas interchangeables.

Cocycle et classe de cohomologie. Un cocycle est un représentant particulier. Une classe regroupe les cocycles qui diffèrent d’un cobord. Deux formules distinctes peuvent donc décrire la même classe ; le test consiste à examiner si leur différence est un cobord.

Forme fermée et forme exacte. Une forme exacte est toujours fermée, car deux différentielles successives se composent en zéro. La réciproque n’est pas globale en général : sur le cercle, la forme ω de l’exemple est fermée, mais son intégrale 2π prouve qu’elle n’est pas exacte.

Un groupe non nul n’est pas toujours la même obstruction. La signification dépend du degré et du complexe. En degré 0, la cohomologie de De Rham décrit les fonctions localement constantes ; sa non-nullité n’exprime pas l’échec d’une primitive. Il faut identifier le quotient calculé avant de l’interpréter.

Les coefficients comptent. Changer le groupe de coefficients peut faire apparaître ou disparaître certaines classes. Une égalité de dimensions calculée sur les nombres réels ne suffit donc pas à conclure que les groupes à coefficients entiers sont identiques. Il faut annoncer les coefficients avec chaque résultat.

La théorie dépend de la catégorie. La cohomologie de De Rham exige une structure différentielle et utilise des formes lisses. Pour un espace seulement topologique ou pour un objet algébrique, il faut choisir une théorie adaptée au support au lieu de forcer ce modèle.

Des groupes égaux ne déterminent pas toujours l’espace. Deux espaces peuvent avoir des groupes de cohomologie isomorphes sans être équivalents dans le sens étudié. Pour les distinguer, on peut devoir conserver des structures supplémentaires, comme le produit entre classes, ou employer d’autres invariants.

L’algèbre homologique replace complexes, noyaux, images et foncteurs dérivés dans le cadre commun dont procèdent de nombreuses cohomologies.

La Topologie quotient présente une manière de construire des espaces par identification, avant d’étudier les invariants globaux que ces constructions peuvent modifier.