suite de Mayer-Vietoris

Imaginez un cercle couvert par deux arcs qui se chevauchent près de deux points. Pris séparément, chaque arc se déplie comme un segment et ne porte aucun trou. Pourtant, leur réunion forme une boucle. L’intersection, composée de deux morceaux séparés, conserve la trace de cette fermeture.

La suite de Mayer-Vietoris organise précisément ce jeu de raccords. Elle compare les informations topologiques des deux parties, de leur zone commune et de l’espace recollé. Son exactitude garantit que ce qui disparaît à une étape réapparaît comme l’information produite à l’étape précédente.

Soit un espace topologique X réunion de deux sous-espaces U et V. Lorsque U et V forment un recouvrement excisif — en particulier lorsqu’ils sont ouverts — la suite de Mayer-Vietoris en homologie relie l’intersection U ∩ V, les deux parties et leur réunion. Pour chaque entier n, elle contient le fragment exact :

Le symbole H_n désigne le groupe d’homologie de degré n, et ⊕ la somme directe. Les applications i et j incluent l’intersection dans U et V ; les applications k et ℓ incluent U et V dans X. Le signe moins encode la différence des deux restrictions sur le chevauchement. L’application ∂, dite de connexion, abaisse le degré d’une unité.

Dire que la suite est exacte signifie qu’à chaque groupe, l’image de l’application entrante est exactement le noyau de l’application sortante. La version cohomologique existe avec des flèches renversées et des applications induites contravariantes. Les groupes des morceaux ne suffisent donc pas seuls : les inclusions de l’intersection, et les applications qu’elles induisent, font partie des données nécessaires.

La construction repose sur quatre éléments. Le recouvrement X = U ∪ V découpe l’espace en deux parties admissibles. L’intersection U ∩ V décrit leur raccord, qui peut avoir plusieurs composantes. Les groupes H_n(U ∩ V), H_n(U), H_n(V) et H_n(X) enregistrent les cycles de chaque degré. Enfin, les applications induites par les inclusions et l’application de connexion ∂ transmettent l’information d’un terme au suivant.

La géométrie du recouvrement détermine donc les applications entre groupes, puis l’exactitude contraint les noyaux et les images. Une intersection déconnectée peut, par exemple, produire une classe d’homologie de degré 1 dans la réunion. Le dessin particulier des arcs, leur couleur ou leur épaisseur ne définit pas la suite ; comptent le recouvrement, les inclusions et les morphismes associés. Ces données permettent de déterminer un groupe inconnu lorsque les termes voisins et leurs applications sont suffisamment connus.

Prenons le cercle X = S¹. Deux arcs ouverts U et V couvrent le cercle ; chacun est contractile, donc peut être continûment ramené à un point. Leur intersection possède exactement deux composantes contractiles, nommées A et B. Le schéma matérialise ce recouvrement et les deux raccords séparés. Les données sont donc H₁(U) = H₁(V) = 0, H₀(U) ≅ H₀(V) ≅ ℤ et H₀(U ∩ V) ≅ ℤ².

1. Autour des degrés 1 et 0, la suite exacte contient :

2. Dans les bases données par A et B d’un côté, puis par U et V de l’autre, les deux inclusions donnent :

3. Le noyau de φ est formé des couples tels que a + b = 0. Il s’écrit donc {(t, −t) ; t ∈ ℤ} et est isomorphe à ℤ.

4. L’exactitude rend ∂ injective et identifie son image au noyau de φ. On obtient ainsi H₁(S¹) ≅ ℤ. Pour contrôler le calcul, le couple (1, −1) appartient bien au noyau, tandis que (1, 0) est envoyé sur (1, −1) et n’y appartient pas.

Pour calculer une homologie, on choisit deux sous-espaces plus simples dont la réunion est l’espace étudié. On calcule ensuite l’intersection et les applications d’inclusion : l’exactitude fournit alors des contraintes et, lorsque les termes voisins et les morphismes sont suffisamment connus, permet de déterminer les groupes encore inconnus. Si aucune décomposition en deux parties n’est naturelle, un calcul direct sur les chaînes peut être préférable.

Pour vérifier un résultat, la suite sert de contrôle de compatibilité. Un morphisme proposé doit avoir pour noyau l’image du morphisme précédent. Un écart signale souvent une composante oubliée dans l’intersection ou une application d’inclusion mal calculée.

En cohomologie, le même découpage est utile lorsque les applications induites sont plus maniables dans le sens contravariant. Le choix entre homologie et cohomologie dépend alors des invariants recherchés et des calculs disponibles, non d’un changement du recouvrement.

Suite exacte et suite de Mayer-Vietoris. Une suite exacte est toute chaîne de morphismes dont chaque image égale le noyau suivant. Mayer-Vietoris est une suite exacte particulière, construite à partir d’un recouvrement X = U ∪ V. Sans ce recouvrement et ses inclusions, il s’agit seulement d’une autre suite exacte.

Théorème de van Kampen. Van Kampen recolle des informations sur le groupe fondamental, généralement non abélien. Mayer-Vietoris relie des groupes d’homologie ou de cohomologie, qui sont abéliens. Pour calculer le groupe fondamental d’un espace, la première méthode est adaptée ; pour ses groupes d’homologie H_n, c’est la seconde.

Décomposition ensembliste quelconque. Écrire X = U ∪ V ne suffit pas toujours. La suite standard demande un recouvrement excisif, par exemple deux ouverts. Deux sous-ensembles qui se touchent mal peuvent avoir les bons groupes pris séparément sans fournir la suite annoncée.

Recouvrement non excisif. Le symptôme est que les chaînes de la réunion ne se décomposent pas comme l’argument de Mayer-Vietoris l’exige. Il faut remplacer les parties par des voisinages ouverts convenables ou vérifier explicitement une hypothèse d’excision avant d’utiliser la suite.

Intersection supposée connexe. Dans l’exemple du cercle, U ∩ V a deux composantes et H₀(U ∩ V) ≅ ℤ². La remplacer par ℤ efface précisément le noyau qui produit H₁(S¹). Il faut compter toutes les composantes ou travailler en homologie réduite avec la convention correspondante.

Groupes connus, applications inconnues. Des groupes isomorphes ne déterminent pas à eux seuls le résultat : deux morphismes entre les mêmes groupes peuvent avoir des noyaux différents. Il faut calculer les applications induites par les inclusions, pas seulement aligner les termes.

Signe et sens des flèches. En homologie, l’application issue de l’intersection comporte conventionnellement un signe moins sur l’une des deux composantes ; changer cette convention impose des ajustements cohérents. En cohomologie, les flèches induites vont en sens inverse. Il faut fixer une convention et vérifier que deux morphismes successifs se composent en zéro.

Exacte (suite) — Approfondir la relation entre image et noyau qui fait fonctionner chaque étape du calcul.

homologie - topologie algébrique - — Revoir ce que mesurent les groupes H_n reliés par Mayer-Vietoris.

cohomologie — Situer la variante contravariante et le renversement des applications induites par les inclusions.