AlgèbreNotion · Glossaire
Scindé
Dans une catégorie abélienne, une suite exacte courte 0 → A → B → C → 0 est dite scindée si elle est isomorphe, comme suite exacte, à la suite canonique 0 → A → A ⊕ C → C → 0 : l’isomorphisme entre B et A ⊕ C identifie l’injection donnée à l’inclusion canonique et la projection donnée à la projection canonique. Cela se produit si et seulement si la projection possède une section ou si l’injection possède une rétraction. Dans la catégorie des espaces vectoriels, toute suite exacte courte est scindée. En théorie des groupes, une extension est scindée si et seulement si elle est un produit semi-direct.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une suite exacte scindée par une section ou une rétraction.
- Vérifier une décomposition explicite de ℝ² en somme directe.
- Distinguer le cas abélien du produit semi-direct des groupes.
- Ne pas confondre suite exacte scindée et polynôme scindé.
En clair
Imaginez le plan comme deux directions indépendantes : l’axe horizontal et l’axe vertical. Chaque point se décompose alors d’une seule manière en une part horizontale et une part verticale.
Une suite exacte courte est scindée lorsque son objet central peut pareillement se séparer en deux morceaux compatibles avec les applications de la suite. Une section permet de replacer le morceau final dans l’objet central ; une rétraction permet d’en récupérer le morceau initial.
Définition
Considérons une suite exacte courte de modules, d’espaces vectoriels ou de groupes abéliens. L’objet A entre dans l’objet B par un morphisme injectif noté i, puis B se projette sur l’objet C par un morphisme surjectif noté p. L’exactitude signifie que les éléments de B envoyés sur zéro par p sont précisément ceux qui proviennent de A par i.
La suite est scindée lorsque la projection p possède une section, c’est-à-dire un morphisme s de C vers B qui remet chaque élément de C au-dessus de lui-même : . De façon équivalente dans ce cadre, l’injection i possède une rétraction, un morphisme r de B vers A tel que . Ces conditions donnent un isomorphisme .
Dans les espaces vectoriels, toute suite exacte courte se scinde : on peut choisir un sous-espace supplémentaire du noyau. Pour une extension de groupes non nécessairement abéliens, une section homomorphe conduit en général à un produit semi-direct, et non à une somme directe.
Un exemple, pas à pas
Prenons le corps des nombres réels ℝ. Les données sont l’application i qui envoie le réel a sur le couple (a, 0), et l’application p qui envoie le couple (x, y) sur le réel y. Nous suivons le point (2, 3) du plan ℝ2.
1. Le noyau de p est l’axe horizontal : p(x, 0) = 0. Cet axe est exactement l’image de i.
2. Choisissons la section s qui envoie le réel y sur (0, y). Alors p(s(y)) = y.
3. Choisissons la rétraction r qui envoie (x, y) sur x. Alors r(i(a)) = a.
4. Le point suivi se décompose exactement : (2, 3) = (2, 0) + (0, 3).
2. Choisissons la section s qui envoie le réel y sur (0, y). Alors p(s(y)) = y.
3. Choisissons la rétraction r qui envoie (x, y) sur x. Alors r(i(a)) = a.
4. Le point suivi se décompose exactement : (2, 3) = (2, 0) + (0, 3).
La suite est donc scindée et ℝ2 est la somme directe des deux axes. Le contrôle se refait immédiatement : p(2, 3) = 3, tandis que r(2, 3) = 2 ; aucune coordonnée n’est perdue. La figure matérialise cette décomposition et les deux applications qui la vérifient.
En pratique
En algèbre linéaire, scinder une suite revient à choisir un supplémentaire du noyau. On préfère cette décomposition lorsqu’elle permet de représenter chaque vecteur par deux composantes indépendantes, comme les coordonnées horizontale et verticale du plan.
Pour étudier une suite exacte de modules, on cherche une section de la projection ou une rétraction de l’injection. Si aucun de ces morphismes n’existe, on conserve la suite exacte sans remplacer l’objet central par une somme directe.
Dans une extension de groupes, une section homomorphe décrit le groupe total à partir du noyau et du groupe quotient. Lorsque l’action du quotient sur le noyau n’est pas triviale, le produit semi-direct est la structure adaptée ; le produit direct serait trop restrictif.
À ne pas confondre
Suite exacte et suite exacte scindée. L’exactitude impose que l’image d’un morphisme soit le noyau du suivant. Le scindage exige en plus une section ou une rétraction. Une suite exacte sans tel morphisme n’est pas scindée.
Polynôme scindé. Un polynôme est scindé sur un corps lorsque tous ses facteurs irréductibles y sont de degré un. Ce critère porte sur une factorisation et non sur une suite exacte ; la fiche Polynôme scindé développe cette autre acception.
Produit direct et produit semi-direct. Dans un produit direct de groupes, les deux facteurs agissent trivialement l’un sur l’autre. Une extension scindée peut seulement fournir un produit semi-direct lorsque l’action du quotient sur le noyau est non triviale.
Limites et pièges
Un isomorphisme abstrait ne suffit pas toujours. Il doit être compatible avec l’injection i et la projection p de la suite. Pour conclure au scindage, il faut exhiber une section de p, une rétraction de i ou un isomorphisme qui respecte ces morphismes.
Le choix n’est généralement pas unique. Dans un espace vectoriel, le noyau peut admettre plusieurs supplémentaires. La suite se scinde dès qu’un seul choix convient, mais le scindage ne fournit pas automatiquement une décomposition canonique.
Le cas des groupes change la forme de la conclusion. Une section homomorphe garantit un produit semi-direct. Pour obtenir un produit direct, il faut en plus que l’action du groupe quotient sur le noyau soit triviale.
Exact ne signifie pas scindé dans tous les cadres. Le scindage automatique vaut pour les espaces vectoriels, grâce à l’existence d’un supplémentaire. Pour des modules sur un anneau général, cette existence peut échouer ; il faut alors tester réellement la section ou la rétraction.
Pour aller plus loin
La fiche Exacte (suite) précise la relation entre image et noyau qui constitue le point de départ avant toute question de scindage.
La notion de Produit semi-direct prolonge le cas des extensions de groupes en explicitant l’action qui assemble le noyau et le quotient.
La fiche espace vectoriel rappelle le cadre où tout sous-espace possède un supplémentaire et où chaque suite exacte courte se scinde.
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