AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Polynôme scindé
Un polynôme est dit scindé sur un corps K si il se décompose comme un produit de facteurs de degré un à coefficients dans K, c'est-à-dire si toutes ses racines sont dans K. Tout polynôme non constant est scindé sur le corps de décomposition de ses racines. Le corps des complexes est algébriquement clos, donc tout polynôme non constant à coefficients complexes est scindé sur C. Savoir si un polynôme est scindé sur un corps donné est lié à la question de la résolution des équations algébriques sur ce corps.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une factorisation complète en facteurs de degré 1.
- Vérifier sur ℚ que X³ − 2X² − X + 2 est scindé.
- Expliquer pourquoi le verdict dépend du corps de base.
- Distinguer scindage, réductibilité, séparabilité et diagonalisation.
En clair
Prenons le polynôme P(X) = X3 − 2X2 − X + 2. On peut le démonter en trois pièces : (X + 1), (X − 1) et (X − 2). Chacune est un facteur de degré 1, et les nombres −1, 1 et 2 qui l'annulent sont rationnels. P est donc scindé sur le corps ℚ des nombres rationnels.
Le corps choisi compte autant que le polynôme. Ainsi, X2 − 2 ne se scinde pas sur ℚ, car √2 et −√2 n'y appartiennent pas, mais il se scinde sur ℝ.
Définition
Soit K un corps et soit P un polynôme non nul de degré n dont les coefficients appartiennent à K. Le polynôme P est scindé sur K lorsqu'il est le produit d'une constante non nulle a de K et de n facteurs de degré 1. Autrement dit, il existe des éléments α1, …, αn de K tels que . Les racines sont ainsi toutes dans K, chacune étant répétée selon sa multiplicité.
Cette propriété est toujours relative au corps de base. Le polynôme X2 − 2 n'est pas scindé sur ℚ, mais il l'est sur ℝ puisque X2 − 2 = (X − √2)(X + √2). Après choix d'une clôture algébrique de K, le corps engendré sur K par les racines de P est la plus petite sous-extension dans laquelle P se scinde : c'est son corps de décomposition.
Le corps ℂ est algébriquement clos : tout polynôme non constant à coefficients complexes y est scindé. Cette garantie d'existence ne fournit pas automatiquement une formule explicite pour ses racines. Déterminer si un polynôme se scinde sur un corps donné reste donc une question de résolution d'équations dans ce corps.
De quoi c'est fait
Dans P(X) = X3 − 2X2 − X + 2, le corps de base ℚ fixe les coefficients et les racines autorisés. La variable X organise les puissances, tandis que les coefficients 1, −2, −1 et 2 déterminent P. Le coefficient dominant 1 et la puissance la plus élevée fixent le degré 3.
Les racines −1, 1 et 2 produisent respectivement les facteurs linéaires X + 1, X − 1 et X − 2. Leur produit, multiplié par le coefficient dominant, reconstruit tout le polynôme. Le degré indique combien de racines il faut compter avec multiplicité : trois facteurs linéaires sont nécessaires ici. La liste des racines, leurs multiplicités et le coefficient dominant suffit donc à reconstituer P.
Un exemple, pas à pas
Étudions sur le corps ℚ le polynôme P défini par . Nous cherchons une factorisation en trois facteurs de degré 1 à coefficients rationnels.
Données. Le corps de base est ℚ, le degré de P est 3 et ses coefficients sont 1, −2, −1 et 2.
Étape 1. On calcule P(1) = 1 − 2 − 1 + 2 = 0 : le nombre 1 est une racine et X − 1 est un facteur.
Étape 2. La division de P par X − 1 donne X2 − X − 2.
Étape 3. On factorise ce quotient : X2 − X − 2 = (X − 2)(X + 1).
Étape 4. Les trois racines −1, 1 et 2 appartiennent à ℚ.
Étape 2. La division de P par X − 1 donne X2 − X − 2.
Étape 3. On factorise ce quotient : X2 − X − 2 = (X − 2)(X + 1).
Étape 4. Les trois racines −1, 1 et 2 appartiennent à ℚ.
P est donc scindé sur ℚ. Pour contrôler le résultat, on multiplie d'abord (X − 1)(X − 2) = X2 − 3X + 2, puis par X + 1 : on retrouve X3 − 2X2 − X + 2.
En pratique
Résoudre une équation polynomiale. Lorsque P est scindé sur K, résoudre P(x) = 0 dans K revient à lire les valeurs αi dans les facteurs X − αi. Si la factorisation n'est pas connue, on cherche d'abord une racine puis on divise pour abaisser le degré.
Choisir le bon ensemble de nombres. Si un facteur irréductible subsiste sur ℚ ou ℝ, on peut conserver ce corps et accepter que le polynôme n'y soit pas scindé, ou l'étendre lorsque le problème autorise de nouvelles racines. Pour X2 − 2, le plus petit choix est ℚ(√2), inclus dans ℝ.
Étudier une matrice. On cherche les valeurs propres comme racines du polynôme caractéristique. S'il ne se scinde pas sur K, la matrice ne peut pas être diagonalisée sur K ; s'il se scinde, il faut encore contrôler la dimension des espaces propres.
À ne pas confondre
Scindé et réductible. Un polynôme réductible possède une factorisation en polynômes de degrés plus petits, sans exiger qu'ils soient tous linéaires. Sur ℝ, (X − 1)(X2 + 1) est réductible mais non scindé, car X2 + 1 n'a pas de racine réelle.
Scindé et séparable. Être scindé indique où se trouvent les racines ; être séparable indique qu'elles sont simples dans un corps de décomposition. Le polynôme (X − 1)2 est scindé sur ℚ, mais il possède une racine double et n'est donc pas séparable.
Avoir une racine et être scindé. Une seule racine dans K ne suffit pas lorsque le degré dépasse 1. Sur ℝ, (X − 1)(X2 + 1) a la racine 1, mais ses deux autres racines ne sont pas réelles.
Limites et pièges
Le corps doit toujours être nommé. X2 − 2 ne se scinde pas sur ℚ, mais se scinde sur ℝ. Le symptôme est un facteur de degré 2 qui reste irréductible dans le corps choisi ; il faut préciser K avant tout verdict.
Les multiplicités comptent. Le polynôme (X − 1)2 est de degré 2 et scindé sur ℚ, même s'il n'a qu'une seule racine distincte. Il faut compter la racine 1 deux fois pour obtenir les deux facteurs linéaires attendus.
Le polynôme nul est à part. Son degré n'est pas défini et tout élément du corps l'annule, si bien que la description par un nombre fini de racines avec multiplicité ne s'applique pas. Les polynômes constants non nuls sont généralement tenus pour scindés par convention, comme produits vides de facteurs linéaires.
Scinder un polynôme caractéristique ne suffit pas à diagonaliser. La matrice identité d'ordre 2 et une matrice non diagonalisable peuvent avoir le même polynôme caractéristique (X − 1)2. Après la factorisation, il faut encore comparer les multiplicités des valeurs propres aux dimensions de leurs espaces propres.
Pour aller plus loin
La fiche Factorisation présente les transformations qui font apparaître les facteurs d'une expression, notamment les facteurs linéaires recherchés ici.
La fiche valeur propre relie les racines du polynôme caractéristique aux directions privilégiées d'une matrice.
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