Séparable (polynôme)

Prenons le polynôme X³ − X. Il s'annule en −1, 0 et 1 : trois nombres différents occupent les trois places de racines. Aucune racine n'est répétée. Le polynôme est donc séparable sur les rationnels.

À l'inverse, (X − 1)² possède deux fois la racine 1. Cette répétition est précisément ce que la séparabilité interdit, même lorsque les racines doivent être cherchées dans un corps plus grand que celui des coefficients.

Soit K un corps et soit P un polynôme non nul à coefficients dans K. On dit que P est séparable sur K si toutes ses racines dans une clôture algébrique de K sont simples, autrement dit de multiplicité 1. La clôture algébrique fournit un corps assez grand pour que P s'y décompose en facteurs du premier degré ; la propriété ne suppose donc pas que toutes les racines appartiennent déjà à K.

La dérivée formelle de P, notée P′, se calcule en dérivant les puissances de X sans notion de limite. Une racine est multiple exactement lorsqu'elle annule à la fois P et P′. Le critère opératoire est donc : $P\text{ est s}\acute{\text{e}}\text{parable sur }K⟺\gcd (P,P^{\mathrm{\prime }})=1P\backslash text\{\; est\; séparable\; sur\; \}K\backslash iff\; \backslash gcd(P,P\text{'})=1$. Ici, 1 signifie que le PGCD est une constante non nulle, à multiplication par une constante près.

En caractéristique nulle, tout polynôme irréductible est séparable. En caractéristique positive p, la dérivée peut être nulle pour un polynôme non constant : cela arrive exactement lorsque toutes ses puissances de X ont un exposant divisible par p. Une extension algébrique L de K est dite séparable lorsque le polynôme minimal sur K de chacun de ses éléments est séparable.

Le corps de base K fournit les coefficients et fixe la caractéristique. Le polynôme P est l'objet testé. Une clôture algébrique de K contient toutes ses racines, et la multiplicité compte combien de fois chaque facteur X − α apparaît dans la décomposition de P.

La dérivée formelle P′ dépend des coefficients et de la caractéristique de K. Le PGCD de P et P′ rassemble leurs facteurs communs : un facteur non constant révèle au moins une racine multiple. Ainsi, la décomposition dans la clôture algébrique donne la définition, tandis que le PGCD permet le test sans calculer les racines. Le dessin ou l'ordre des racines ne définit pas la séparabilité ; seules leurs multiplicités comptent.

Étudions sur le corps des rationnels le polynôme P défini par P(X) = X³ − X. Le schéma synthétise les deux contrôles : les racines sont distinctes et aucune n'est commune avec la dérivée.

Données.
Corps de base : ℚ.
Polynôme : P(X) = X³ − X.
Dérivée formelle : P′(X) = 3X² − 1.

Étape 1. Factorisons P sur ℚ :

Étape 2. Les trois facteurs donnent les racines −1, 0 et 1. Chacune apparaît une seule fois ; cette factorisation suffit déjà à conclure que P est séparable.

Étape 3. Contrôlons avec P′. Aux trois racines de P, la dérivée vaut respectivement 2, −1 et 2. Elle ne s'annule donc sur aucune d'elles. Ainsi, P et P′ n'ont aucun facteur non constant en commun, donc leur PGCD vaut 1. Les deux critères confirment le même résultat.

Pour tester un polynôme sans calculer ses racines, on calcule sa dérivée formelle puis le PGCD des deux polynômes. Un PGCD constant établit la séparabilité. Un PGCD non constant localise au contraire la partie qui porte des racines multiples.

Lorsque la dérivée n'est pas nulle, on peut obtenir une factorisation sans facteurs répétés en retirant les multiplicités révélées par le PGCD. Cette décomposition sans carré est préférable à une recherche explicite des racines lorsque celles-ci vivent dans une extension difficile à construire.

Pour étudier une extension algébrique, on examine les polynômes minimaux de ses éléments. En caractéristique nulle, leur irréductibilité garantit déjà leur séparabilité. En caractéristique positive, le contrôle par la dérivée reste indispensable.

Polynôme séparable et polynôme scindé. Un polynôme scindé a toutes ses racines dans le corps de base ; un polynôme séparable a des racines distinctes dans une clôture algébrique. Ainsi, X² − 2 est séparable sur ℚ, mais il n'y est pas scindé.

Polynôme séparable et polynôme irréductible. L'irréductibilité interdit une factorisation non triviale sur le corps de base ; la séparabilité interdit les racines multiples. Le polynôme X² − 1 est réductible sur ℚ, mais séparable.

Polynôme séparable et espace topologique séparable. En topologie, « séparable » signifie qu'il existe une partie dénombrable dense. Ce critère n'a aucun rapport avec la multiplicité des racines d'un polynôme.

Le polynôme nul est exclu du critère. Toutes les valeurs sont ses racines et la multiplicité usuelle d'une racine n'y est pas définie. Il faut réserver la notion de polynôme séparable aux polynômes non nuls.

Une dérivée nulle n'implique pas un polynôme constant en caractéristique positive. Sur un corps de caractéristique p, la dérivée de X^p − a est nulle. Il faut alors reconnaître que tous les exposants sont multiples de p, et non appliquer les réflexes de caractéristique nulle.

Le corps de base doit être précisé. La factorisation visible change lorsque le corps est agrandi, mais la séparabilité d'un polynôme donné ne change pas après une extension du corps de base. Il faut tester les multiplicités dans une clôture algébrique, pas seulement compter les racines déjà présentes dans K.

Un polynôme annulateur mal choisi peut induire en erreur. L'élément 1 annule (X − 1)², qui n'est pas séparable, mais son polynôme minimal X − 1 l'est. Pour établir l'inséparabilité d'un élément, il faut donc examiner son polynôme minimal ; à l'inverse, tout polynôme séparable qui l'annule suffit à établir sa séparabilité.

L'article Extension de corps situe la séparabilité dans le passage d'un corps K à un corps L et éclaire le rôle des polynômes minimaux.

La fiche Irréductible (polynôme) distingue l'absence de factorisation sur le corps de base de l'absence de racines multiples dans une clôture algébrique.