Corps de décomposition

Prenons le polynôme x³ − 2 avec des coefficients rationnels. Une première racine, ∛2, n'est pas rationnelle : il faut donc agrandir le corps des nombres rationnels pour l'accueillir. Mais ajouter cette seule racine ne suffit pas, car les deux autres sont des nombres complexes.

Le corps de décomposition est le plus petit univers de nombres qui contient à la fois les coefficients de départ et toutes les racines. Dans cet univers, le polynôme peut enfin s'écrire entièrement comme un produit de facteurs du premier degré.

Soit K un corps et soit f un polynôme à coefficients dans K. Un corps de décomposition de f sur K est une extension L de K qui satisfait deux exigences : le polynôme f s'y factorise en facteurs linéaires, et L est engendré sur K par les racines de f. Cette seconde exigence exprime la minimalité : aucune partie superflue de l'extension n'est ajoutée.

Si les racines distinctes de f dans une clôture algébrique de K sont notées α₁, …, α_r, alors le corps cherché est $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)L=K(\backslash alpha\_1,\backslash ldots,\backslash alpha\_r)$. Il existe pour tout polynôme non constant. Deux corps de décomposition de f sur K sont isomorphes par un isomorphisme qui fixe chaque élément de K ; ils ne sont donc pas nécessairement le même sous-corps d'un univers choisi.

Les multiplicités des racines ne changent pas le corps engendré. Une fois L construit, le groupe de Galois de f sur K est le groupe des automorphismes de L qui fixent K élément par élément. Ces automorphismes permutent les racines tout en respectant toutes leurs relations algébriques.

Pour construire un corps de décomposition, on part du corps K des coefficients. On choisit une racine α₁ de f et on forme K(α₁), puis on recommence avec une racine encore absente. Le processus s'arrête dès que f est produit de facteurs linéaires.

Le résultat est le corps engendré par toutes les racines : $K\subseteq K({\alpha }_1)\subseteq \cdots \subseteq K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)K\backslash subseteq\; K(\backslash alpha\_1)\backslash subseteq\backslash cdots\backslash subseteq\; K(\backslash alpha\_1,\backslash ldots,\backslash alpha\_r)$. L'ordre des adjonctions peut changer les étapes intermédiaires, mais pas le résultat à K-isomorphisme près.

Il faut préciser le polynôme f et le corps de base K, car un même polynôme peut avoir des corps de décomposition différents selon le corps de départ. On travaille dans une extension où les racines existent, par exemple une clôture algébrique de K. Le corps obtenu doit contenir toutes les racines et être engendré par elles sur K.

Si f est déjà scindé sur K, aucune extension n'est nécessaire : K est son propre corps de décomposition. À l'inverse, adjoindre une seule racine ne suffit pas toujours. Pour x³ − 2 sur ℚ, le corps ℚ(∛2) reste réel et ne contient donc pas les deux racines complexes ; il faut encore adjoindre une racine cubique de l'unité.

Cherchons le corps de décomposition de f(x) = x³ − 2 sur le corps ℚ des nombres rationnels. La tour d'extensions permet de suivre quelles racines deviennent disponibles à chaque adjonction.

Données.
Corps de base : ℚ.
Polynôme : f(x) = x³ − 2.
Racine réelle : α = ∛2.
Racine cubique complexe de l'unité : ω, avec ω² + ω + 1 = 0.

Étape 1. On adjoint α à ℚ. Le corps ℚ(α) contient la racine α, mais tous ses éléments sont réels. Il ne peut donc pas contenir les deux autres racines, qui sont complexes non réelles.

Étape 2. On adjoint ω. Les trois racines sont alors α, αω et αω², et la factorisation complète devient :

Résultat. Le corps de décomposition est ℚ(α, ω). Son degré sur ℚ vaut 6 : l'adjonction de α a le degré 3, puis celle de ω le degré 2. Contrôle. Les trois facteurs sont linéaires, et leurs racines engendrent bien ℚ(α, ω).

Pour factoriser complètement un polynôme, on cherche d'abord ses racines dans le corps de base. Si certaines manquent, le corps de décomposition indique exactement quelles adjonctions rendent tous les facteurs linéaires.

Pour étudier les symétries des racines, on travaille dans le corps de décomposition plutôt que dans une extension contenant seulement une racine. C'est là que tous les automorphismes fixant le corps de base peuvent agir sur l'ensemble complet des racines.

Quand le polynôme est déjà scindé sur le corps de départ, il est inutile d'agrandir ce corps. Le test décisif consiste à vérifier que chaque facteur irréductible y est déjà de degré 1.

Corps de rupture. Un corps de rupture d'un polynôme irréductible est engendré par une seule de ses racines. Il peut ne pas contenir les autres. Pour x³ − 2 sur ℚ, ℚ(∛2) est un corps de rupture, mais pas le corps de décomposition.

Clôture algébrique. Une clôture algébrique de K contient les racines de tous les polynômes sur K. Le corps de décomposition ne vise qu'un polynôme donné et se limite au sous-corps engendré par ses racines.

Corps des coefficients. Le corps de base contient les coefficients, mais pas nécessairement les racines. Pour x³ − 2, les coefficients appartiennent à ℚ alors que son corps de décomposition est une extension de degré 6 de ℚ.

Minimal ne signifie pas inclus dans toute extension sans choix. L'unicité est une unicité à K-isomorphisme près. Pour comparer deux réalisations concrètes, il faut préciser les plongements dans une même clôture algébrique.

Une racine multiple ne s'adjoint pas plusieurs fois. Pour (x − 1)² sur ℚ, l'unique racine est déjà rationnelle : le corps de décomposition reste ℚ. La multiplicité concerne la factorisation, pas la taille du corps engendré.

Le corps de base change la réponse. Le polynôme x³ − 2 a besoin de ℚ(∛2, ω) sur ℚ, mais il est déjà scindé sur ℂ. Il faut donc toujours accompagner le nom du polynôme de son corps de base.

Un corps de décomposition n'implique pas toujours la séparabilité du polynôme. En caractéristique positive, un polynôme peut avoir des racines multiples. Son corps de décomposition existe néanmoins ; si le polynôme est séparable, cette extension est galoisienne. La réciproque est fausse : si a ∈ K, le polynôme (x − a)ᵖ n'est pas séparable, mais son corps de décomposition est K, donc une extension galoisienne de K.

L'article Extension de corps précise le cadre dans lequel on adjoint des éléments et mesure le degré entre le corps de départ et le corps obtenu.

La fiche Séparable (polynôme) explique quand les racines sont distinctes, condition qui relie le corps de décomposition à une extension galoisienne.