K-isomorphisme

Dans le corps ℚ(√2), chaque nombre s'écrit a + b√2 avec des rationnels a et b. Remplacer √2 par −√2 transforme par exemple 3 + 2√2 en 3 − 2√2, sans toucher aux nombres rationnels.

Cette transformation respecte l'addition, la multiplication et les inverses. Elle constitue donc un ℚ-isomorphisme. La lettre placée devant « isomorphisme » indique le socle qui doit rester immobile, ici le corps ℚ.

Soit K un corps inclus dans deux corps L et L'. Un K-isomorphisme de L vers L' est un isomorphisme de corps f de L sur L' dont la restriction à K est l'identité. Autrement dit, il préserve l'addition et la multiplication, il est bijectif, et chaque élément k de K vérifie $f(k)=kf(k)=k$. Les inclusions choisies de K dans L et L' font donc partie des données.

Lorsque L' est égal à L, un K-isomorphisme est appelé K-automorphisme. Pour l'extension ℚ(√2) sur ℚ, l'identité et la conjugaison qui envoie √2 sur −√2 sont les deux ℚ-automorphismes. Leur action sur √2 détermine leur action sur tout élément a + b√2.

Dans une extension galoisienne finie L sur K, les K-automorphismes de L forment le groupe de Galois. Plus généralement, si L sur K est une extension algébrique finie, le nombre de K-plongements de L dans une clôture algébrique de K est son degré de séparabilité. Ces plongements ne sont pas nécessairement des automorphismes de L : leur image peut être un autre sous-corps de la clôture algébrique.

Prenons K = ℚ et L = L' = ℚ(√2). Nous étudions l'application f définie par la conjugaison. Le diagramme associé matérialise le point décisif : les deux copies de ℚ restent fixées tandis que √2 change de signe.

Données.
Corps de base : K = ℚ.
Corps de départ et d'arrivée : L = L' = ℚ(√2).
Élément général : a + b√2, avec a et b rationnels.
Application : f(a + b√2) = a − b√2.

Étape 1. Pour tout rationnel a, on a f(a) = a. L'application fixe donc ℚ élément par élément.

Étape 2. Pour deux éléments x = a + b√2 et y = c + d√2, la conjugaison respecte leur somme et leur produit. En particulier, l'image du produit est :

Étape 3 et contrôle. Appliquer f deux fois redonne a + b√2. Ainsi f est sa propre réciproque, donc elle est bijective. Elle respecte les opérations et fixe ℚ : c'est un ℚ-automorphisme, donc un ℚ-isomorphisme de L vers lui-même.

Pour construire un K-isomorphisme entre extensions simples, on cherche d'abord les images possibles d'un générateur. Si L est engendré sur K par un élément α, son image doit être une racine du même polynôme minimal sur K dans le corps d'arrivée.

Pour vérifier une application proposée, on contrôle qu'elle fixe K, respecte les opérations et atteint tout L'. Lorsque la formule possède une réciproque explicite, comme la conjugaison de ℚ(√2), la bijectivité est immédiate. Sinon, un simple K-plongement peut être l'alternative correcte.

En théorie de Galois, on compose les K-automorphismes de L. Ce choix est pertinent lorsque le départ et l'arrivée sont le même corps ; pour comparer deux extensions distinctes de K, on conserve le terme K-isomorphisme.

Isomorphisme de corps et K-isomorphisme. Un isomorphisme de corps n'a pas forcément à fixer le sous-corps K choisi. Dans ℚ(√2, √3), l'automorphisme qui change √2 en −√2 et fixe √3 n'est pas un ℚ(√2)-isomorphisme, car il déplace un élément de ce corps de base.

K-plongement et K-isomorphisme sur un corps donné. Un K-plongement de L dans un corps Ω est injectif, mais il n'est pas nécessairement surjectif sur Ω. Il est seulement un K-isomorphisme de L vers son image f(L).

K-automorphisme et K-isomorphisme. Le premier exige que le corps d'arrivée soit le corps de départ. La conjugaison de ℚ(√2) est un ℚ-automorphisme ; une bijection compatible entre deux copies distinctes d'une extension est un ℚ-isomorphisme.

Fixer K signifie fixer ses éléments, pas seulement préserver K comme ensemble. Si une application envoie K sur K tout en déplaçant certains de ses éléments, sa restriction à K n'est pas l'identité. Il faut tester f(k) = k sur le corps de base.

Une image de générateur doit exister dans le corps d'arrivée. Pour ℚ(√2), l'image de √2 doit être √2 ou −√2. Si le corps d'arrivée ne contient aucune racine de X² − 2, cette construction ne fournit aucun ℚ-isomorphisme vers ce corps.

Le comptage par le degré de séparabilité suppose une extension algébrique finie. Il compte les K-plongements de L dans une clôture algébrique fixée, et non automatiquement les K-automorphismes de L. Dans le cas galoisien fini, les images restent dans L et les deux nombres coïncident avec le degré de L sur K.

Le degré total peut dépasser le nombre de plongements. En caractéristique positive, une extension inséparable de degré supérieur à 1 peut n'avoir qu'un seul K-plongement dans une clôture algébrique. Il faut employer le degré de séparabilité, pas le degré total.

La fiche Extension de corps précise le cadre L sur K dans lequel sont définis les K-isomorphismes et les degrés d'extension.

La fiche Isomorphisme (théorème d') prolonge l'idée d'une structure conservée et situe le vocabulaire de l'isomorphisme dans un cadre algébrique plus large.