Morphisme d'extension

Imaginez que l'on recopie les nombres d'un corps dans un autre en conservant les additions et les multiplications. Dans une extension de corps, le petit corps se trouve à l'intérieur du grand. Un morphisme d'extension est une telle recopie qui laisse inchangés les nombres du corps de départ.

Par exemple, dans le corps obtenu en ajoutant √2 aux nombres rationnels, deux recopiages gardent les rationnels fixes : l'un laisse √2 inchangé, l'autre l'envoie sur −√2. Ils décrivent deux symétries possibles de la même extension.

Soient K et L deux corps, c'est-à-dire deux ensembles munis d'une addition et d'une multiplication compatibles. Un morphisme de corps f de K vers L conserve ces opérations ainsi que 0 et 1. L'extension de corps est la relation L/K ; lorsqu'elle est réalisée par un morphisme f de K vers L, ce morphisme est injectif et son image permet donc d'identifier K à un sous-corps de L. On écrit alors f : K → L, et L est une extension de K via f.

La formulation plus générale concerne deux extensions E et F d'un même corps de base K. Un morphisme d'extension de E vers F est un morphisme de corps qui fixe chaque élément de K. Cela signifie que, pour tout élément k de K, son image reste k, après les identifications convenues. Cette condition distingue un K-morphisme d'un morphisme de corps quelconque.

En théorie de Galois, ces morphismes servent à classer les extensions de corps et à étudier les symétries entre les racines d'un même polynôme. Lorsque E = F, ils deviennent des automorphismes de l'extension ; lorsque E et F diffèrent, ils permettent de comparer deux réalisations compatibles avec le même corps de base.

Considérons le corps des nombres rationnels ℚ et l'extension L = ℚ(√2), obtenue en ajoutant √2. On étudie deux applications de L vers L qui doivent conserver les rationnels, l'addition et la multiplication.

Les données sont les suivantes : un élément de L s'écrit a + b√2 avec a et b rationnels ; le nombre √2 vérifie (√2)² = 2 ; le corps de base est ℚ.

On peut alors suivre le calcul :
1. La première application fixe a et b, ainsi que √2, donc elle envoie a + b√2 sur a + b√2.
2. La seconde fixe a et b, mais envoie √2 sur −√2, donc elle envoie a + b√2 sur a − b√2.
3. La seconde règle reste compatible avec l'équation (√2)² = 2, car (−√2)² = 2.
4. Elle conserve aussi une multiplication : l'image de (1 + √2)(1 − √2) = −1 est (1 − √2)(1 + √2) = −1.

Les deux applications sont donc des ℚ-morphismes d'extension de L vers L. Le contrôle est refaisable sur un élément simple : 1 + 2√2 devient 1 + 2√2 avec la première application et 1 − 2√2 avec la seconde ; dans les deux cas, les rationnels restent inchangés.

Pour comparer deux extensions d'un même corps K, on cherche un morphisme qui laisse chaque élément de K fixe. Le critère observable est donc la conservation du corps de base, et non la seule conservation des opérations.

Pour étudier les racines d'un polynôme dans une extension, on examine où un morphisme peut envoyer ces racines tout en respectant les opérations. Cette méthode rend visibles les symétries algébriques décrites par la théorie de Galois.

Pour reconnaître un morphisme dans un calcul, on vérifie d'abord le corps de départ et le corps d'arrivée, puis la fixation du corps de base. Si cette dernière condition n'est pas demandée, un morphisme de corps général est l'alternative adaptée.

Un morphisme de corps n'est pas nécessairement un morphisme d'extension au sens relatif à un corps de base. Le critère qui tranche est la fixation de ce corps : une application peut préserver l'addition et la multiplication sans laisser fixes les éléments du sous-corps choisi.

Une extension de corps n'est pas un morphisme. L'extension désigne la relation entre un corps K et un corps L qui le contient, tandis que le morphisme est l'application qui réalise une comparaison ou une symétrie. Dans ℚ(√2), l'inclusion de ℚ et la conjugaison qui envoie √2 sur −√2 n'ont pas le même rôle.

Le mot « fixe » signifie ici que chaque élément du corps de base est envoyé sur lui-même. Il ne suffit pas qu'une application conserve seulement quelques nombres remarquables. Si le corps de base n'est pas précisé, il faut l'indiquer avant de parler de K-morphisme.

Dans la définition de source, le morphisme f : K → L est injectif. Cette propriété permet de voir K comme un sous-corps de L via f ; sans cette identification, la phrase « L est une extension de K » n'a pas le sens annoncé. Pour un morphisme de corps entre corps, l'injectivité est automatique, mais elle reste une condition explicite de la formulation.

Les deux applications de ℚ(√2) vers lui-même ne sont pas deux règles arbitraires : l'image de √2 doit encore vérifier son équation. Une proposition d'image qui ne respecte pas les relations algébriques de l'élément ne définit pas un morphisme.

Pour situer les morphismes dans le cadre qui les rend naturels, consultez Extension de corps. Vous y gagnerez la relation de base entre les corps K et L avant d'étudier les applications qui la respectent.