Galoisienne (extension)

Partons des nombres rationnels et ajoutons √2. Le nouveau corps contient aussi −√2, l’autre racine du polynôme X² − 2. Échanger ces deux racines conserve les additions et les multiplications, sans modifier aucun nombre rationnel.

Une extension galoisienne possède précisément ce bon équilibre : les racines nécessaires y sont toutes présentes, sans répétition gênante, et leurs symétries respectent le corps de départ. Le groupe de Galois rassemble ces symétries.

Soient K un corps et L un corps qui contient K. L’extension L/K est galoisienne lorsqu’elle est à la fois séparable et normale. Elle est séparable si chaque élément de L annule un polynôme séparable à coefficients dans K, c’est-à-dire un polynôme sans racine multiple dans un corps où il se décompose. Elle est normale si tout polynôme irréductible à coefficients dans K qui possède une racine dans L y possède toutes ses racines. Les deux conditions sont nécessaires.

Un automorphisme de L est une bijection de L qui préserve l’addition et la multiplication. Le groupe de Galois Gal(L/K) réunit ceux qui fixent chaque élément de K. Dans l’extension ℚ(√2)/ℚ, il contient l’identité et l’application qui échange √2 avec −√2. Pour une extension finie galoisienne, le théorème fondamental de la théorie de Galois met les sous-groupes de Gal(L/K) en correspondance avec les corps intermédiaires placés entre K et L.

Considérons l’extension obtenue en ajoutant √2 au corps ℚ des nombres rationnels. On veut décider si ℚ(√2)/ℚ est galoisienne et déterminer ses symétries.

Données. Le polynôme étudié est X² − 2. Ses deux racines sont √2 et −√2, et elles appartiennent toutes deux à ℚ(√2).

1. Les deux racines sont distinctes. Le polynôme est donc séparable.

2. Dans ℚ(√2), la factorisation est complète : $X^2-2=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})X^2-2=(X-\backslash sqrt\{2\})(X+\backslash sqrt\{2\})$. L’extension est normale.

3. Un automorphisme qui fixe ℚ doit envoyer √2 sur une racine du même polynôme. Il existe donc deux possibilités : √2 reste √2, ou devient −√2.

L’extension est galoisienne et son groupe de Galois possède exactement deux éléments : l’identité et l’échange des deux racines. Le contrôle consiste à appliquer deux fois cet échange : √2 revient à √2. Cette involution rend la symétrie de l’exemple directement visible.

Pour tester une extension, on examine séparément ses deux verrous. La séparabilité écarte les racines multiples ; la normalité vérifie qu’une racine présente n’est pas isolée de ses autres conjuguées. Si un verrou manque, on ne qualifie pas l’extension de galoisienne.

Pour décrire les symétries de L au-dessus de K, on cherche les images possibles des éléments ajoutés, tout en imposant que chaque élément de K reste fixe. Dans ℚ(√2)/ℚ, cette contrainte ne laisse que l’identité et l’échange de √2 avec −√2.

Pour inventorier les corps intermédiaires d’une extension finie galoisienne, on peut étudier les sous-groupes du groupe de Galois. Cette voie est préférable au tâtonnement dès que les automorphismes sont plus faciles à organiser que les éléments des sous-corps.

Deux propriétés voisines interviennent dans la définition, mais aucune ne suffit seule.

La séparabilité porte sur l’absence de racines multiples. L’extension ℚ(∛2)/ℚ est séparable, mais elle n’est pas normale : les deux racines complexes de X³ − 2 ne sont pas dans ℚ(∛2). Elle n’est donc pas galoisienne.

La normalité demande que tout polynôme irréductible sur le corps de départ ayant une racine dans l’extension s’y décompose entièrement. Pour conclure qu’une extension est galoisienne, il reste toujours à contrôler aussi la séparabilité.

Les critères doivent être lus avec leur corps de base et leurs hypothèses. Plusieurs raccourcis font perdre une condition essentielle.

Dire seulement que L est galoisien est incomplet : les polynômes testés et les éléments que les automorphismes doivent fixer dépendent de K. Il faut toujours préciser l’extension L/K.

Un élément de Gal(L/K) ne doit pas seulement envoyer K sur lui-même : il laisse chaque élément de K inchangé. Dans ℚ(√2)/ℚ, les rationnels restent donc fixes, même lorsque √2 et −√2 sont échangés.

La correspondance entre tous les sous-groupes et les sous-extensions est ici formulée pour une extension finie galoisienne. Dans une extension galoisienne infinie, une formulation analogue exige de tenir compte d’une structure topologique et des sous-groupes fermés.

La fiche Séparable (polynôme) approfondit le critère qui exclut les racines multiples et intervient dans la définition d’une extension galoisienne.

La fiche Corps cyclotomique présente une famille de corps construits en adjoignant des racines de l’unité, terrain naturel pour observer des automorphismes de corps.