Extension cyclique

Imaginez un petit monde de nombres dont les symétries échangent certains éléments sans changer les règles de calcul. Si ces symétries peuvent être parcourues en répétant une seule transformation, l'extension de nombres est cyclique. Dans le monde à quatre éléments F₄ construit à partir de F₂, la transformation qui élève chaque nombre au carré laisse 0 et 1 fixes, mais échange α et α². Deux applications ramènent chaque élément à son point de départ : les symétries forment donc un cycle.

Soit L une extension de corps de K. Elle est dite cyclique lorsque L/K est galoisienne et que son groupe de Galois Gal(L/K), c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes de L qui fixent chaque élément de K, est un groupe cyclique. Si ce groupe est fini d'ordre n, il existe un automorphisme σ tel que toutes les symétries de l'extension soient id, σ, σ², et ainsi de suite jusqu'à σⁿ⁻¹. Une extension finie cyclique est donc nécessairement normale et séparable, puisque ces propriétés sont incluses dans l'hypothèse « galoisienne ».

Le critère s'applique à des extensions algébriques, notamment aux extensions finies et aux extensions de corps finis. Pour un corps fini F_q, avec q = p^r, sur son sous-corps premier F_p, le groupe de Galois est engendré par l'automorphisme de Frobenius x ↦ x^p. La cyclicité décrit ainsi l'organisation des automorphismes ; elle ne signifie pas que les éléments du corps forment eux-mêmes un groupe cyclique sous l'addition.

Considérons F₄ = F₂[α]/(α² + α + 1), où α vérifie α² = α + 1. Les éléments sont 0, 1, α et α². On étudie l'extension F₄/F₂ et l'automorphisme de Frobenius σ(x) = x².

Données : le corps de base est F₂ ; le corps étendu est F₄ ; la relation est α² = α + 1 ; le Frobenius est σ(x) = x².

σ(0) = 0 et σ(1) = 1, car 0² = 0 et 1² = 1.
σ(α) = α² par définition du Frobenius.
σ(α²) = (α²)² = α⁴ = α, car α³ = 1 et α⁴ = α.
Une seconde application donne σ²(x) = x pour chacun des quatre éléments.

Le cycle non fixe est donc α → α² → α. Avec l'identité, les automorphismes sont id et σ ; le groupe de Galois possède 2 éléments et il est engendré par σ. Le contrôle consiste à vérifier σ² = id sur 0, 1, α et α², ce qui confirme exactement la cyclicité de F₄/F₂.

Dans l'étude d'une extension finie, on commence par vérifier qu'elle est galoisienne. Cette vérification est indispensable : même sans normalité ou séparabilité, Aut_K(L), l'ensemble des automorphismes de L qui fixent K, reste toujours un groupe ; en revanche, L/K n'est alors pas galoisienne et l'on ne peut pas qualifier son extension de cyclique au sens usuel.

Pour un corps fini F_q sur F_p, le geste est particulièrement concret : on applique le Frobenius x ↦ x^p, puis on cherche son ordre. Si ses puissances parcourent tous les automorphismes, cette seule transformation engendre le groupe ; dans le cas contraire, l'extension n'est pas cyclique.

Pour une extension contenant les racines de l'unité d'ordre approprié, la théorie de Kummer fournit une voie adaptée pour décrire certaines extensions cycliques. Le critère observable est alors la présence des racines nécessaires et la forme de l'extension, plutôt qu'une simple ressemblance avec un corps fini.

Une extension galoisienne n'est pas forcément cyclique. Le test qui tranche porte sur le groupe de Galois : il doit posséder un élément dont les puissances donnent tous les automorphismes. Par exemple, un groupe de Galois isomorphe au groupe de Klein à quatre éléments est galoisien mais non cyclique, car chaque élément non neutre y a ordre 2 et aucune puissance ne produit les quatre éléments.

La cyclicité du groupe de Galois ne doit pas être confondue avec la cyclicité du groupe multiplicatif du corps. Le premier concerne les automorphismes qui fixent le corps de base ; le second concerne la multiplication des éléments non nuls. Ces deux propriétés peuvent être étudiées séparément.

Le mot « cyclique » ne suffit pas à lui seul : il faut préciser le groupe concerné. Une extension non galoisienne peut avoir des automorphismes, sans que cet ensemble soit le groupe de Galois de l'extension. Le bon réflexe consiste à établir d'abord la nature galoisienne de L/K, puis à tester si Gal(L/K) est engendré par un seul automorphisme.

Dans un corps fini F_q de caractéristique p, le Frobenius pertinent sur F_q/F_p est x ↦ x^p, tandis que x ↦ x^q est l'identité sur F_q. Confondre ces deux exposants fait croire à tort que le générateur est trivial. Il faut donc distinguer le corps sur lequel on agit et son sous-corps de base.

Enfin, « cyclique » ne veut pas dire « de degré premier ». L'extension F₄/F₂ a degré 2, mais une extension F_pⁿ/F_p a degré n et reste cyclique pour tout entier n ≥ 1. Le seuil n = 1 est le cas charnière : l'extension est alors triviale et son groupe de Galois ne contient que l'identité.

La fiche permet de relier trois perspectives : la symétrie des racines via le groupe de Galois, l'action calculable du Frobenius sur les corps finis et la description par Kummer lorsque les racines de l'unité requises sont présentes. Cette lecture progressive prépare l'étude de la résolubilité par radicaux sans confondre le cas cyclique avec toute la théorie des équations polynomiales.