fonction V des racines

Imaginez trois racines différentes, rangées dans un ordre précis. Une expression comme V = a + 2b + 4c leur attribue un nombre qui dépend de cet ordre. En permutant formellement les racines, on obtient plusieurs valeurs de V ; l’idée est d’en choisir une dont aucune ne se répète pour les permutations considérées. Mais, dans l’action de Galois, seules les permutations induites par les K-automorphismes sont autorisées : elles seules donnent les images galoisiennes de V.

Cette empreinte peut servir de code : connaître V permet de retrouver rationnellement les racines, lorsque l’on connaît aussi l’équation de départ. Le groupe de Galois agit sur les racines et sur les valeurs de V ; les éléments qui conservent une valeur donnée de V n’en sont que le stabilisateur.

Soit une équation polynomiale dont les racines distinctes sont a, b, c, … . Une fonction V des racines est une expression algébrique construite à partir de ces racines, qui peut changer quand on permute leur ordre. Elle n’est donc pas symétrique par défaut.

Dans le cadre usuel, on considère un polynôme séparable sur un corps de base K de caractéristique nulle, et son corps de décomposition L. Le premier lemme de Galois affirme qu’il existe une fonction V dont les images par les K-automorphismes de L sont toutes distinctes. Le second affirme que, pour un tel choix, chaque racine s’exprime rationnellement en fonction de V, avec des coefficients dans K.

La fonction V condense ainsi l’information portée par l’ordre des racines, mais son orbite galoisienne ne contient pas nécessairement les n! ordres de S_n. Le groupe de Galois est le groupe des K-automorphismes du corps de décomposition L ; il agit sur V. Les éléments de ce groupe qui ne changent pas sa valeur forment seulement le stabilisateur de V. Dans le langage moderne, V joue le rôle d’un élément primitif de l’extension de corps engendrée par les racines.

La construction réunit quatre ingrédients. Les racines a, b, c, … sont les objets que l’on permute. L’expression V est la combinaison choisie pour distinguer les ordres. Les permutations formelles de S_n produisent les différentes valeurs de V ; parmi elles, seules celles induites par les K-automorphismes correspondent à l’action du groupe de Galois. Enfin, les relations rationnelles reliant V aux racines permettent de reconstruire celles-ci.

Ces éléments dépendent les uns des autres : sans racines distinctes, deux ordres peuvent déjà se confondre ; sans une fonction V séparatrice, l’information de l’ordre n’est pas codée. Dans un corps de décomposition L sur un corps de base K, lorsque V engendre L sur K, V suffit, avec les données de l’équation, à reconstruire chaque racine ; les automorphismes de L qui le laissent invariant forment son stabilisateur dans le groupe de Galois.

Prenons trois racines distinctes a = 1, b = 2 et c = 3, et choisissons V = a + 2b + 4c. Les six permutations possibles sont les données de l’exemple.

Pour (a,b,c) = (1,2,3), V = 1 + 2 × 2 + 4 × 3 = 17.
Pour (a,b,c) = (1,3,2), V = 1 + 2 × 3 + 4 × 2 = 15.
Pour (a,b,c) = (2,1,3), V = 2 + 2 × 1 + 4 × 3 = 16.
Pour (a,b,c) = (2,3,1), V = 2 + 2 × 3 + 4 × 1 = 12.
Pour (a,b,c) = (3,1,2), V = 3 + 2 × 1 + 4 × 2 = 13.
Pour (a,b,c) = (3,2,1), V = 3 + 2 × 2 + 4 × 1 = 11.

Les six résultats sont donc 17, 15, 16, 12, 13 et 11 : ils sont tous différents. Ils illustrent une séparation combinatoire des six permutations formelles de 1, 2 et 3. Dans cet exemple fini, les valeurs de a, b et c associées à ces six valeurs de V peuvent être reliées par interpolation : par exemple, la valeur V = 17 est associée au triplet (a,b,c) = (1,2,3), et les fonctions ainsi obtenues permettent de récupérer a, b et c à partir de V. Chacune devient ainsi une fonction rationnelle de V. Cette illustration ne constitue pas, à elle seule, une liste des six images galoisiennes : pour un corps de base comme Q, le corps de décomposition de ce polynôme est Q et son groupe de Galois est trivial.

Le contrôle est immédiat : trier les résultats donne 11, 12, 13, 15, 16, 17, sans répétition. La fonction choisie distingue bien les six ordres des trois racines.

En théorie de Galois, la fonction V sert à remplacer l’étude simultanée de plusieurs racines par l’étude d’un seul élément qui les code. Le geste consiste à comparer ses valeurs sous les permutations autorisées.

Pour une équation donnée, cette construction prépare l’étude de son groupe de Galois : on ne retient comme permutations autorisées que celles qui sont induites par des automorphismes du corps de décomposition fixant le corps de base, puis on étudie leur action sur V. Les éléments qui laissent V invariant forment le stabilisateur de V. Pour un calcul moderne, on parle plus volontiers d’élément primitif, car cette terminologie décrit directement le rôle dans l’extension de corps.

Une fonction symétrique des racines garde la même valeur après toute permutation. Une fonction V séparatrice doit au contraire distinguer les permutations formelles considérées. Dans l’exemple, la somme a + b + c vaut toujours 6, tandis que V prend six valeurs différentes. Ces six ordres ne sont toutefois pas nécessairement les images galoisiennes d’une même configuration : seules les permutations induites par les K-automorphismes sont autorisées.

La fonction V ne se confond pas non plus avec le groupe de Galois. V est une expression dépendant des racines ; le groupe de Galois est formé des automorphismes du corps de décomposition qui fixent le corps de base K. Les éléments de ce groupe qui laissent V inchangée constituent séparément le stabilisateur de V.

Le cas des racines égales est exclu par l’énoncé source. Si deux racines coïncident, certaines permutations ne changent déjà pas la liste de valeurs, et le choix d’une fonction V à valeurs toutes distinctes n’est plus garanti dans cette forme. Il faut alors reformuler le cadre en tenant compte des multiplicités.

Une expression arbitraire ne convient pas nécessairement : elle peut donner la même valeur pour plusieurs permutations. Dans l’exemple, la somme des racines vaut 6 dans les six ordres ; elle ne peut donc pas jouer le rôle de V séparatrice.

Enfin, « s’exprimer rationnellement en fonction de V » signifie utiliser des opérations algébriques avec les coefficients du corps de base K, et non extraire automatiquement les racines par une simple lecture numérique. Cette conclusion suppose notamment un polynôme séparable, par exemple sur un corps de caractéristique nulle, un corps de décomposition L et un choix de V qui engendre L sur K ; le choix de V et ces hypothèses d’existence sont essentiels.

L’article Cauchy, un précurseur oublié apporte un éclairage historique sur les idées de permutations qui entourent la naissance de la théorie de Galois.