AlgèbreThéorème · Glossaire
Élément primitif (théorème de)
Le théorème de l'élément primitif affirme que toute extension de corps séparable finie peut être engendrée par un seul élément, appelé élément primitif. Si L est une extension séparable finie de K, il existe un élément α dans L tel que L = K(α). Ce résultat est fondamental en théorie de Galois et simplifie l'étude des extensions finies de corps en les ramenant à des extensions simples.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer précisément les hypothèses et la conclusion du théorème.
- Vérifier que √2 + √3 engendre ℚ(√2, √3).
- Reconnaître les cas où un candidat ou l’hypothèse de séparabilité fait défaut.
En clair
Imaginez un corps obtenu en ajoutant à ℚ deux nombres, √2 et √3. Le théorème dit que, sous certaines conditions, un seul nombre bien choisi peut contenir les deux ajouts. Ici, α = √2 + √3 suffit : des calculs avec α et des nombres rationnels permettent de retrouver séparément √2 et √3.
Ce nombre α est un élément primitif. Remplacer plusieurs générateurs par un seul ne supprime aucune information du corps ; cela en donne une description plus compacte.
Définition
Soit K un corps et L un corps qui contient K. L’extension L/K est dite simple s’il existe un élément α de L tel que L = K(α), où K(α) est le plus petit sous-corps de L contenant à la fois K et α. Un tel α est appelé élément primitif de l’extension. Il n’est généralement pas unique.
Le théorème de l’élément primitif porte sur une extension finie, c’est-à-dire lorsque L est un espace vectoriel de dimension finie sur K, et séparable, c’est-à-dire lorsque les polynômes minimaux des éléments de L n’ont pas de racines multiples dans un corps de décomposition. Sous ces deux hypothèses, l’extension est simple.
Dans l’exemple L = ℚ(√2, √3), le choix α = √2 + √3 donne L = ℚ(α). Chaque élément de L peut donc s’écrire comme une expression rationnelle en α à coefficients rationnels ; comme α est algébrique, cette expression se ramène même à un polynôme en α de degré inférieur au degré de son polynôme minimal.
Le principe
Soient K un corps et L une extension de K. Si l’extension L/K est finie et séparable, alors il existe un élément α dans L tel que L = K(α). Autrement dit, tous les éléments de L s’obtiennent à partir de K et d’un seul générateur α par les opérations de corps. La conclusion garantit l’existence d’un tel élément, mais n’en impose pas un choix unique.
Quand l'utiliser
Le théorème s’applique à une extension de corps L/K. Il faut vérifier deux points : la dimension de L comme espace vectoriel sur K est finie, et l’extension est séparable. En caractéristique nulle, notamment pour les extensions finies de ℚ, la séparabilité est automatique. La conclusion fournit alors au moins un α appartenant à L qui engendre toute l’extension.
Sans séparabilité, la conclusion n’est plus garantie. Soient s et t deux indéterminées indépendantes sur 𝔽p. Pour K = 𝔽p(s, t) et L = K(s1/p, t1/p), chaque élément α de L vérifie αp ∈ K. Ainsi K(α) a un degré au plus p sur K, alors que L a le degré p² : aucun α ne peut engendrer L. Il faut conserver plusieurs générateurs.
Un exemple, pas à pas
Prenons K = ℚ et L = ℚ(√2, √3). Données : α = √2 + √3 ; les carrés de √2 et √3 valent respectivement 2 et 3. Le but est de vérifier que ℚ(α) contient les deux générateurs de L.
1. En développant le cube, on obtient α3 = 11√2 + 9√3.
2. La différence α3 − 9α vaut 2√2. Donc √2 = (α3 − 9α)/2 appartient à ℚ(α).
3. Puis √3 = α − √2 appartient aussi à ℚ(α). Ainsi L est inclus dans ℚ(α). L’inclusion inverse est immédiate puisque α appartient à L : on a bien L = ℚ(α).
Un contrôle indépendant consiste à calculer le polynôme minimal de α :
Ce polynôme est irréductible sur ℚ et a le degré 4, comme l’extension ℚ(√2, √3)/ℚ. Cette égalité des degrés confirme que α engendre tout L. La figure synthétise les deux récupérations qui rendent cette génération explicite.
En pratique
Pour décrire une extension finie séparable, on cherche un élément α dont le degré sur le corps de base atteint le degré total de l’extension. Si ce degré est atteint, K(α) ne peut pas être un sous-corps strict de L.
Pour calculer dans L, un élément primitif remplace plusieurs générateurs par une seule variable soumise à son polynôme minimal. Dans ℚ(√2, √3), travailler avec α et la relation α4 − 10α2 + 1 = 0 ramène chaque puissance élevée à une combinaison de 1, α, α2 et α3.
Si l’extension n’est pas séparable ou si le candidat choisi a un degré trop petit, on garde plusieurs générateurs ou on essaie un autre élément. Le critère observable est le degré de son polynôme minimal.
À ne pas confondre
Un élément primitif d’une extension engendre un corps L à partir d’un sous-corps K par les opérations de corps. Un générateur du groupe multiplicatif d’un corps fini engendre seulement le groupe de ses éléments non nuls par multiplication. Le test les sépare : vérifie-t-on K(α) = L, ou bien que les puissances de α parcourent tous les éléments non nuls ?
Il ne faut pas non plus confondre élément primitif et polynôme minimal. Le premier est un élément du corps étendu ; le second est le polynôme unitaire irréductible de plus petit degré qui l’annule. Dans l’exemple, α = √2 + √3 est l’élément, tandis que x4 − 10x2 + 1 est son polynôme minimal sur ℚ.
Limites et pièges
La séparabilité est une hypothèse suffisante essentielle à l’énoncé, mais son absence ne signifie pas que toute extension considérée échoue à être simple. Le symptôme décisif n’est donc pas le seul mot « inséparable » : il faut tester si un candidat α atteint le degré [L:K].
Une combinaison évidente de générateurs peut être un mauvais choix. Dans ℚ(√2, √3), le candidat β = √2 a le degré 2 sur ℚ, alors que L a le degré 4. Il n’engendre donc pas L ; choisir α = √2 + √3 corrige ce défaut.
L’écriture L = K(α) ne rend pas la représentation polynomiale unique sans borne de degré : deux polynômes qui diffèrent d’un multiple du polynôme minimal donnent le même élément. Il faut réduire les puissances modulo ce polynôme et conserver un degré strictement inférieur au sien.
Pour aller plus loin
L’article Extension de corps précise le cadre K ⊂ L, le degré d’une extension et le rôle des générateurs.
La fiche Polynôme minimal montre comment l’équation irréductible d’un élément mesure le degré de l’extension simple qu’il engendre.
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