Séparable (espace)

Sur la droite réelle, les nombres rationnels forment une liste infinie que l’on peut dénombrer. Pourtant, aussi près que l’on zoome autour de n’importe quel réel, on rencontre encore des rationnels. Cette poignée dénombrable atteint ainsi tout l’espace par approximation : la droite réelle est séparable.

En algèbre, le même adjectif exprime une autre idée : les racines d’un polynôme restent distinctes. Il qualifie aussi une extension de corps lorsque tout élément de l’extension est algébrique sur le corps de base et que son polynôme minimal sur ce corps est séparable.

En topologie, un espace topologique est séparable lorsqu’il possède une partie dénombrable dense. Une partie est dense lorsque son adhérence est l’espace entier : tout ouvert non vide rencontre cette partie. Dans un espace métrique, cela signifie que chaque point peut être approché aussi précisément que voulu par des points d’un même ensemble dénombrable. Par exemple, les rationnels sont dénombrables et denses dans la droite réelle.

En algèbre, un polynôme à coefficients dans un corps est séparable lorsque ses racines sont toutes simples dans une clôture algébrique du corps. Si le polynôme est noté f et sa dérivée formelle f′, le critère se formule ainsi : $\gcd (f,f^{\mathrm{\prime }})=1\backslash gcd(f,f\text{'})=1$. Une extension de corps L sur K est séparable lorsque chaque élément de L est algébrique sur K et possède sur K un polynôme minimal séparable.

Les deux emplois partagent une intuition de distinction ou d’approximation, mais leurs critères ne se mélangent pas : densité dénombrable en topologie, absence de racine multiple en algèbre.

Le sens topologique réunit quatre éléments : un espace, ses ouverts, une partie dénombrable et l’adhérence de cette partie. Les ouverts déterminent les voisinages de chaque point ; cette structure fixe donc l’adhérence. La partie choisie doit ensuite rencontrer tout ouvert non vide. Son énumération ne suffit pas : c’est sa densité, dépendante de la topologie, qui rend l’espace séparable.

Le sens algébrique mobilise un corps de coefficients, un polynôme, sa dérivée formelle et une clôture algébrique où observer toutes les racines. Le polynôme et sa dérivée permettent de détecter une racine commune, donc multiple. Pour une extension, le corps de base fixe les polynômes minimaux des éléments ; leur séparabilité détermine celle de l’extension.

On étudie le polynôme f à coefficients rationnels défini par $f(X)=X^2-2f(X)=X^2-2$. Les données sont le corps des rationnels, le degré 2 et la dérivée formelle de f.

1. La dérivation formelle donne $f^{\mathrm{\prime }}(X)=2Xf\text{'}(X)=2X$.

2. Les racines de f dans une clôture algébrique sont √2 et −√2. Elles sont distinctes.

3. L’unique racine de f′ est 0, mais f(0) = −2. Les deux polynômes n’ont donc aucune racine commune et leur plus grand commun diviseur vaut 1. La figure matérialise ce contrôle par les zéros des deux graphes.

Le polynôme f est séparable sur les rationnels. Par conséquent, l’extension obtenue en ajoutant √2 aux rationnels est séparable. Le contrôle est refaisable en vérifiant directement que $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})=X^2-2(X-\backslash sqrt\{2\})(X+\backslash sqrt\{2\})=X^2-2$ ne contient aucun facteur répété.

En topologie, chercher une partie dénombrable dense ramène l’approximation de tous les points à une liste de représentants. Dans la droite réelle, les rationnels fournissent cette liste : autour d’un réel quelconque, tout intervalle ouvert contient un rationnel. Chaque voisinage rencontre donc cette partie dénombrable, ce qui vérifie sa densité. Si aucune partie dénombrable dense n’existe, il faut travailler avec un ensemble d’approximation plus grand.

Pour un polynôme explicite, on calcule sa dérivée formelle puis leur plus grand commun diviseur. Un résultat égal à 1 établit la séparabilité ; un facteur commun non constant signale au contraire une racine multiple.

Pour une extension algébrique, on examine les polynômes minimaux de ses éléments. En caractéristique nulle, cette vérification est automatique : les polynômes irréductibles sont séparables. En caractéristique positive, le test par la dérivée devient décisif.

Séparable et à base dénombrable. Une base dénombrable est une famille dénombrable d’ouverts qui engendre toute la topologie. Une partie dénombrable dense est seulement un ensemble de points. Avoir une base dénombrable entraîne la séparabilité, mais la réciproque est fausse pour un espace topologique général.

Séparable et irréductible. L’irréductibilité interdit une factorisation non triviale sur le corps de coefficients ; la séparabilité interdit les racines multiples dans une clôture algébrique. Le polynôme $(X-1)(X-2)(X-1)(X-2)$ est réductible mais séparable, car ses deux racines sont distinctes.

La densité dépend de la topologie. Une partie dense pour une topologie peut ne plus l’être après un changement d’ouverts. Il faut donc préciser l’espace topologique avant de conclure à la séparabilité.

La séparabilité n’est pas héréditaire en toute généralité. Un sous-espace d’un espace topologique séparable peut ne pas être séparable. Dans les espaces métriques, en revanche, tout sous-espace d’un espace séparable reste séparable.

Une dérivée nulle exige un examen du corps. En caractéristique positive p, la dérivée formelle de $X^p-aX^p-a$ est nulle. Dans une clôture algébrique, ce polynôme a une unique racine de multiplicité p ; s’il est le polynôme minimal d’un élément, cet élément est inséparable.

Le glossaire Dénombrable précise comment une collection infinie peut être mise en liste, condition centrale du sens topologique.

L’article adhérence - topologie - développe l’opération qui permet d’exprimer exactement la densité d’une partie.

La fiche Séparable (polynôme) approfondit le critère des racines distinctes et de la dérivée formelle.

La notion d’Extension de corps situe les rôles respectifs du corps de base et du corps agrandi.