Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Dense
Une partie D d'un espace topologique X est dite dense dans X si tout ouvert non vide de X contient au moins un point de D, ou de manière équivalente si l'adhérence de D est égale à X. Les nombres rationnels forment une partie dense dans les réels : tout intervalle ouvert contient au moins un rationnel. La densité est une notion fondamentale en topologie et en analyse. Un espace est dit séparable s'il possède une partie dénombrable dense.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une partie dense par les ouverts non vides ou par son adhérence.
- Construire et contrôler un rationnel dans un intervalle réel donné.
- Distinguer densité, égalité avec l’espace et caractère ouvert.
- Relier partie dense dénombrable et espace séparable.
En clair
Prenez deux nombres réels distincts, aussi proches soient-ils, et regardez l’intervalle qui les sépare. Il contient toujours un nombre rationnel, c’est-à-dire une fraction d’entiers. Les rationnels sont donc présents à toutes les échelles de la droite réelle.
Dire qu’une partie est dense ne signifie pas qu’elle contient tous les points. Cela signifie qu’aucune zone ouverte non vide de l’espace ne peut l’éviter. On peut ainsi approcher chaque point de l’espace aussi finement que l’on veut avec des points de cette partie.
Définition
Soit un espace topologique appelé X et une partie de cet espace appelée D. La partie D est dense dans X lorsque tout ouvert non vide de X rencontre D. Autrement dit, dès qu’une zone ouverte contient au moins un point de X, elle contient aussi au moins un point de D.
L’adhérence de D est l’ensemble des points de X dont tout voisinage ouvert rencontre D. Le critère précédent équivaut donc à l’égalité . Cette formulation inclut les points de D et tous les points que D permet d’approcher. La densité dépend toujours de l’espace ambiant X : une même partie peut être dense dans un sous-espace sans l’être dans un espace plus grand.
Dans la droite réelle munie de sa topologie usuelle, l’ensemble des rationnels est dense, car tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel. Enfin, un espace topologique est dit séparable lorsqu’il possède une partie dense qui est dénombrable.
Un exemple, pas à pas
Cherchons explicitement un rationnel dans l’intervalle ouvert allant de 1,41 à 1,42. Les deux bornes 1,41 et 1,42 sont les données de départ ; elles ne font pas partie de l’intervalle.
1. La largeur de l’intervalle vaut 1,42 − 1,41 = 0,01.
2. Choisissons le dénominateur 200. Deux fractions consécutives de ce dénominateur sont espacées de 1/200 = 0,005, une distance inférieure à 0,01.
3. En multipliant les bornes par 200, on obtient 282 et 284. L’entier 283 se trouve strictement entre ces deux valeurs.
4. La fraction correspondante est 283/200 = 1,415. Elle est rationnelle et vérifie 1,41 < 1,415 < 1,42.
Le contrôle se refait en divisant 283 par 200, puis en comparant le résultat aux deux bornes. Cet exemple exhibe un point rationnel dans cet intervalle ; le même principe, avec un dénominateur assez grand, s’applique à tout intervalle ouvert non vide.
En pratique
Pour approcher un nombre réel, on peut chercher un rationnel dans un intervalle centré sur la valeur visée. Plus l’intervalle est étroit, plus l’approximation demandée est fine. Cette méthode convient lorsque l’on veut une fraction manipulable plutôt qu’une écriture réelle exacte.
Pour comparer deux fonctions continues à valeurs réelles, il suffit parfois de vérifier qu’elles coïncident sur une partie dense de leur domaine. La continuité transmet alors l’égalité aux points approchés. Sans continuité, ce raccourci n’est pas valable et il faut contrôler les autres points.
Pour étudier la séparabilité, on cherche une partie à la fois dénombrable et dense. Une telle partie fournit un ensemble dénombrable de points de référence ; si aucune partie de ce type n’existe, l’espace n’est pas séparable.
À ne pas confondre
Dense ne signifie pas égal à l’espace. Le critère décisif porte sur les ouverts, pas sur la présence de chaque point. Les rationnels sont denses dans les réels, mais un réel irrationnel n’est pas rationnel.
Dense ne signifie pas ouvert. Une partie ouverte contient une zone autour de chacun de ses points ; une partie dense rencontre chaque ouvert non vide de l’espace. Les rationnels illustrent la différence : ils sont denses dans les réels, mais aucun intervalle ouvert réel n’est entièrement formé de rationnels.
Limites et pièges
L’espace ambiant doit être nommé. Une partie peut être dense dans un sous-espace et ne plus l’être dans un espace plus grand. Le symptôme est une adhérence qui change avec le cadre ; il faut donc toujours préciser l’espace dans lequel la densité est affirmée.
Les suites ne suffisent pas dans toute topologie. Dans un espace métrique, chaque point de l’adhérence de D est limite d’une suite de points de D. Dans un espace topologique arbitraire, cette caractérisation peut échouer ; le critère sûr reste celui des voisinages ouverts ou de l’adhérence.
Deux parties denses peuvent avoir une intersection vide. Dans les réels, les rationnels et les irrationnels sont tous deux denses, mais ils sont disjoints. Il ne faut donc pas conclure que l’intersection de deux parties denses est dense sans hypothèses supplémentaires.
L’espace vide est un cas dégénéré. Sa partie vide y est dense, puisque son adhérence est égale à l’espace vide et qu’il n’existe aucun ouvert non vide à tester. Dans tout espace non vide, la partie vide n’est pas dense.
Pour aller plus loin
adhérence - topologie - précise comment un ensemble incorpore tous les points que ses éléments peuvent approcher.
Séparable (espace) prolonge la densité en demandant l’existence d’une partie dense dénombrable.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres