AlgèbreNotion · Glossaire
Séparable (extension)
En algèbre, une extension de corps L sur K est séparable si tout élément de L est racine d'un polynôme séparable à coefficients dans K. Un polynôme non constant non nul à coefficients dans K est séparable s'il n'a pas de racine multiple dans une clôture algébrique de K ; de façon équivalente, il est premier avec sa dérivée formelle. Le mot « séparable » a aussi un sens en topologie : la fiche dédiée est indiquée dans la partie qui traite cette distinction.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la séparabilité d'un élément, d'un polynôme et d'une extension.
- Vérifier la séparabilité de ℚ(√2)/ℚ par un calcul refaisable.
- Repérer la différence entre une vérification sur un polynôme et une conclusion sur toute l'extension.
En clair
Prenons le nombre √2. Il est solution de x² − 2 = 0, dont les deux solutions √2 et −√2 sont distinctes. Le polynôme ne « replie » donc pas plusieurs racines en une seule.
Une extension de corps est séparable lorsque chacun de ses éléments peut être décrit par un polynôme de ce type, sans racine multiple. Cette propriété garantit que les racines gardent des valeurs distinctes dans une clôture algébrique.
Définition
Soient K ⊂ L deux corps, et soit α un élément de L. L'élément α est séparable sur K lorsqu'il est algébrique sur K et que son polynôme minimal sur K — le polynôme irréductible de plus petit degré qui exprime la relation algébrique de α — n'a pas de racine multiple dans une clôture algébrique de K. Une extension algébrique L/K est dite séparable si tout élément de L est séparable sur K.
Plus généralement, un polynôme non constant f à coefficients dans K est séparable lorsqu'il n'a pas de racine multiple dans une clôture algébrique. La vérification équivalente passe par le pgcd de f et de sa dérivée formelle : .
La propriété concerne les racines dans une clôture algébrique. Elle s'applique à l'extension lorsque chacun de ses éléments est racine d'un polynôme séparable à coefficients dans K ; elle ne décrit pas une nouvelle opération sur les éléments eux-mêmes.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'extension ℚ(√2)/ℚ, où ℚ désigne les nombres rationnels et √2 le nombre réel positif dont le carré vaut 2. Le polynôme minimal de √2 sur ℚ est x² − 2.
Données : le corps de base est ℚ ; l'élément étudié est α = √2 ; le polynôme est f(x) = x² − 2 ; ses racines sont √2 et −√2.
La dérivée formelle de f est f′(x) = 2x. Les racines de f sont √2 et −√2, tandis que la racine de f′ est 0. Aucune racine de f n'est donc racine de f′.
Le polynôme f possède deux racines distinctes dans une clôture algébrique de ℚ. Il est donc séparable.
Ici, le contrôle porte sur le générateur √2, et non sur un élément choisi au hasard : c'est lui qui engendre l'extension considérée. Comme il est racine de ce polynôme séparable, l'extension ℚ(√2)/ℚ est séparable dans ce cas particulier. Le contrôle refaisable consiste à vérifier que le discriminant de x² − 2 vaut 8, donc n'est pas nul ; ce calcul ne suffit pas à conclure pour une extension quelconque.
En pratique
Pour une extension de corps donnée par un élément algébrique, on commence par chercher son polynôme minimal sur le corps de base. On examine ensuite ses racines dans une clôture algébrique, ou son pgcd avec sa dérivée formelle lorsque ce calcul est disponible.
Le critère des racines distinctes s'applique dans une clôture algébrique du corps de base. Il permet de contrôler la propriété à l'endroit où elle est définie, sans confondre les coefficients du polynôme avec ses racines.
Le calcul de la dérivée formelle fournit une vérification équivalente pour un polynôme non constant non nul f à coefficients dans un corps K : si pgcd(f, f′) n'est pas 1, f possède une racine multiple dans une clôture algébrique de K et n'est pas séparable.
À ne pas confondre
La séparabilité d'une extension ne se confond pas avec la séparabilité d'un seul polynôme. Le premier énoncé porte sur chaque élément de L et sur un polynôme à coefficients dans K ; le second porte sur les racines multiples d'un polynôme donné dans une clôture algébrique. Le cas qui tranche est donc l'étendue de la vérification.
La séparabilité ne se confond pas non plus avec le simple fait d'être racine d'un polynôme. Pour conclure, il faut que le polynôme soit séparable, donc sans racine multiple dans une clôture algébrique. Dans l'exemple x² − 2, les deux racines √2 et −√2 sont distinctes : ce cas satisfait bien le critère.
Limites et pièges
Le piège principal est de regarder seulement l'écriture des coefficients ou le degré. La séparabilité se décide dans une clôture algébrique : ce sont les racines, et non la forme apparente du polynôme, qui doivent être examinées.
Un polynôme est séparable lorsque l'ensemble de ses racines dans une clôture algébrique ne contient aucune répétition. Le degré ou la forme de son écriture ne remplace pas ce contrôle. Pour x² − 2, les deux racines √2 et −√2 sont distinctes, ce qui tranche le cas sans approximation.
Enfin, le mot extension séparable ne se vérifie pas sur un seul élément choisi au hasard. La définition demande que tout élément de L soit racine d'un polynôme séparable à coefficients dans K ; un contrôle partiel ne suffit donc pas à conclure pour l'extension entière.
Pour aller plus loin
Pour distinguer le sens topologique du sens algébrique du mot, consultez la fiche Séparable (espace). Vous y gagnerez un critère différent : la présence d'un sous-ensemble dénombrable dense dans un espace topologique, plutôt qu'une condition sur les racines d'un polynôme.
Dans l'exemple ℚ(√2)/ℚ, la séparabilité est liée au fait que le polynôme minimal possède des racines distinctes. Cette perspective invite à reprendre le même contrôle sur d'autres éléments et d'autres polynômes, en conservant le corps de base et la clôture algébrique comme repères.
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