Extension de corps

Les nombres rationnels permettent d'additionner, soustraire, multiplier et diviser, sauf par zéro. Pourtant, aucun rationnel élevé au carré ne vaut 2. En ajoutant √2 à ces nombres, on obtient un ensemble plus vaste où ce calcul devient possible : les nombres de la forme a + b√2, avec a et b rationnels.

Le petit corps de départ reste intact dans le grand. Cette inclusion est une extension de corps. Elle permet d'introduire de nouveaux nombres tout en conservant les quatre opérations et leurs règles.

Une extension de corps est la donnée de deux corps, le corps de base K et un corps L qui contient K comme sous-corps. Elle se note L/K. Les additions et multiplications effectuées dans K sont donc exactement celles héritées de L. Cette situation fait aussi de L un espace vectoriel dont les scalaires appartiennent à K.

Le degré, noté $[L:K][L:K]$, est la dimension de cet espace vectoriel. L'extension est finie lorsque cette dimension est finie. Dans l'exemple conducteur, chaque élément de ℚ(√2) s'écrit de manière unique a + b√2, avec a et b rationnels ; la famille formée de 1 et √2 est une base, donc $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2[\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{2\}):\backslash mathbb\{Q\}]=2$.

Un élément de L est algébrique sur K s'il annule un polynôme non nul à coefficients dans K. L'extension est algébrique si tous ses éléments le sont ; elle est transcendante sinon. Toute extension finie est algébrique, mais une extension algébrique peut être de degré infini. Une extension galoisienne est une extension algébrique qui est à la fois normale et séparable. La théorie de Galois relie alors ses sous-corps à son groupe d'automorphismes qui fixent K.

Quatre éléments structurent une extension. Le corps de base K fournit les scalaires et les coefficients des polynômes. Le corps supérieur L contient K et les nouveaux éléments étudiés. L'inclusion garantit que les opérations de K ne changent pas dans L. Enfin, une base de L sur K, lorsqu'elle est finie, permet de décomposer chaque élément de L et d'en lire le degré.

Pour ℚ(√2)/ℚ, les deux vecteurs 1 et √2 forment une base. Les coordonnées rationnelles a et b déterminent alors un unique élément a + b√2. Le schéma rend visibles à la fois l'inclusion de ℚ dans ℚ(√2) et ces deux directions indépendantes.

Le choix d'une base sert aux calculs, mais il ne définit pas à lui seul l'extension : ce sont les deux corps et leur inclusion qui la définissent. En revanche, le nombre d'éléments d'une base est indépendant du choix de cette base ; c'est le degré de l'extension.

On étudie l'extension ℚ(√2)/ℚ et l'élément α = 3 + 2√2. Les données sont le corps de base ℚ, le nombre √2 vérifiant (√2)² = 2 et la famille candidate formée de 1 et √2.

1. Les sommes et produits de deux expressions a + b√2 conservent cette forme, car (√2)² se remplace par 2. Pour un élément non nul, la multiplication par le conjugué donne l'inverse $(a-b\sqrt{2})\mathrm{/}(a^2-2b^2)(a-b\backslash sqrt\{2\})/(a^2-2b^2)$. Le dénominateur ne peut s'annuler que si a = b = 0, puisque √2 n'est pas rationnel.

2. Tout élément s'écrit comme combinaison rationnelle de 1 et √2. Ces deux nombres sont linéairement indépendants sur ℚ, car √2 n'est pas rationnel. Ils forment donc une base et le degré vaut 2.

3. Pour éliminer √2 dans α = 3 + 2√2, on isole α − 3 puis on élève au carré :

4. Le polynôme X² − 6X + 1, à coefficients rationnels, annule α. L'élément α est donc algébrique sur ℚ. Le contrôle direct donne (3 + 2√2)² − 6(3 + 2√2) + 1 = 0.

Pour résoudre une équation sans solution dans le corps de départ, on peut passer à un corps où une racine existe. Ainsi, X² − 2 n'a pas de racine dans ℚ, tandis que ℚ(√2) contient √2 et −√2. Si les solutions rationnelles suffisent, aucune extension n'est nécessaire.

Pour calculer avec un nombre algébrique, on choisit une base du corps supérieur sur le corps de base. Dans ℚ(√2), réduire chaque puissance de √2 grâce à (√2)² = 2 ramène les résultats à la forme a + b√2. Une base finie est préférable lorsque l'on veut représenter les éléments par un nombre fini de coordonnées.

Pour étudier les symétries des racines d'un polynôme, on considère une extension galoisienne et ses automorphismes qui laissent le corps de base fixe. Si l'extension n'est pas normale ou pas séparable, ce cadre ne fournit pas directement la correspondance galoisienne complète.

Extension de corps et extension d'anneaux. Dans une extension de corps, tout élément non nul du grand ensemble possède un inverse. Le test tranche avec ℤ ⊂ ℚ : cette inclusion est une extension d'anneaux, mais pas une extension de corps, puisque ℤ n'est pas un corps.

Extension et clôture algébrique. Une extension ajoute certains éléments à un corps ; une clôture algébrique est une extension algébrique qui est elle-même algébriquement close. ℚ(√2)/ℚ est une extension algébrique, mais X² + 1 n'y a toujours pas de racine : ce n'est donc pas une clôture algébrique de ℚ.

Extension et corps de décomposition. Un corps de décomposition est construit pour que le polynôme considéré s'y factorise entièrement en facteurs linéaires. Une extension quelconque peut ne contenir qu'une partie de ses racines. Le critère consiste donc à vérifier si toutes les racines du polynôme sont présentes.

Degré 1. Si [L:K] = 1, alors L = K dans l'inclusion considérée. Le symbole L/K reste licite, mais aucun nouvel élément n'a été ajouté ; il faut éviter d'y chercher une structure supplémentaire.

Algébrique ne signifie pas finie. Chaque élément peut annuler un polynôme sur K sans qu'une base finie existe pour toute l'extension. Pour conclure à la finitude, il faut établir que [L:K] est un entier fini, pas seulement vérifier les éléments un par un.

Le degré dépend du corps de base. Le même corps supérieur peut avoir des dimensions différentes selon les scalaires autorisés. Avant tout calcul, il faut donc lire les deux termes de L/K et ne pas parler du « degré de L » sans préciser K.

Galoisienne n'est pas synonyme d'algébrique. L'algébricité seule ne garantit ni normalité ni séparabilité. Avant d'utiliser la correspondance de Galois, il faut contrôler ces deux propriétés en plus de l'algébricité.

Les extensions forment des tours K ⊂ L ⊂ M. Lorsque les degrés sont finis, les dimensions se multiplient : $[M:K]=[M:L][L:K][M:K]=[M:L][L:K]$. Cette relation permet de décomposer l'étude d'un grand corps en étapes intermédiaires.

Pour replacer la théorie dans le parcours de son créateur, Galois en BD propose une entrée biographique illustrée.