Degré d'une extension

Imaginez que l'on agrandisse un système de nombres en ajoutant un nouvel élément, comme √2 aux nombres rationnels. Le degré compte le nombre minimal de coefficients du système de départ nécessaires pour décrire tous les nombres du système agrandi. Pour √2, chaque nombre s'écrit sous la forme a + b√2, avec a et b rationnels — les deux coefficients ne sont pas forcément nécessaires pour chaque nombre. Le degré vaut donc 2. Si l'on agrandit encore par étapes, les nombres disponibles se combinent et les degrés de chaque étape se multiplient.

Soient K un corps et L un corps qui contient K. Le degré de l'extension L/K est la dimension de L considéré comme espace vectoriel sur K, et se note $[L:K][L:K]$. Cette dimension est le nombre d'éléments d'une base de L sur K ; elle peut être finie ou infinie. Lorsque cette dimension est finie, on parle d'extension finie.

Pour une tour de corps K ⊂ L ⊂ M d'extensions finies, les degrés se composent selon la relation suivante :

Enfin, si α est algébrique sur K et si K(α) désigne le plus petit corps contenant K et α, le degré de K(α)/K est le degré du polynôme minimal de α sur K. Cette dernière formulation s'applique aux extensions simples engendrées par un seul élément.

On rencontre ce degré lorsqu'un calcul passe d'un corps de nombres à un corps plus vaste. Les marqueurs observables sont une inclusion de corps, une écriture du type L/K, une base cherchée sur le petit corps et, pour une extension simple, un polynôme minimal. L'information portée est une dimension : elle indique combien de directions indépendantes sont nécessaires pour décrire le grand corps avec des coefficients du petit. Dans la tour ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√2,√3), chaque inclusion fournit une étape dont le degré peut être mesuré séparément.

La grandeur lue est une dimension vectorielle, non une distance. Pour déterminer [L:K], on identifie d'abord le corps de base K et le corps d'arrivée L. On cherche ensuite une base de L sur K, puis on compte ses éléments ; ce nombre, lorsqu'il existe, est le degré. Dans une tour K ⊂ L ⊂ M, on calcule plutôt les deux degrés intermédiaires et on les multiplie.

La convention est importante : le premier corps est le référentiel des coefficients et le second est l'espace dont on mesure la dimension. L'œil peut croire que le degré compte les éléments du corps, mais un corps contient généralement une infinité d'éléments. Le bon réflexe consiste à compter les vecteurs d'une base, ou à trouver le degré du polynôme minimal dans le cas simple algébrique.

Considérons la tour de corps ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√2,√3). Les données sont les suivantes : le polynôme minimal de √2 sur ℚ est X² − 2 ; celui de √3 sur ℚ(√2) est X² − 3 ; le corps final est ℚ(√2,√3).

Pour lire la justification, « irréductible » signifie qu'un polynôme ne se factorise pas sur le corps de coefficients. Pour un polynôme de degré 2, il suffit de vérifier qu'il n'y possède pas de racine. Ici, cette vérification donne : X² − 2 est irréductible sur ℚ, donc [ℚ(√2):ℚ] = 2.
Le même critère appliqué à X² − 3 sur ℚ(√2) donne un polynôme irréductible et donc [ℚ(√2,√3):ℚ(√2)] = 2.
Le théorème de multiplicativité donne [ℚ(√2,√3):ℚ] = 2 · 2 = 4.

Le résultat est donc un degré 4 pour l'extension totale. Un contrôle direct est fourni par la base {1, √2, √3, √6}, qui contient quatre éléments et permet d'écrire chaque nombre du corps final avec des coefficients rationnels.

Pour vérifier qu'une extension simple a le degré d'un polynôme, on cherche d'abord le polynôme minimal de l'élément ajouté. Son degré donne directement la dimension à mesurer.

Pour une construction par étapes, on repère les corps successifs et l'on applique la multiplicativité. Cette organisation est préférable à une recherche immédiate d'une base finale lorsque chaque étape possède un polynôme minimal identifiable.

En théorie de Galois et pour la constructibilité à la règle et au compas, le degré fournit un invariant numérique qui permet de situer la complexité algébrique d'une extension.

Le degré de l'extension L/K ne se confond pas avec le degré d'un polynôme quelconque. Le critère qui tranche est le cas d'une extension simple K(α)/K : seul le polynôme minimal de α donne le degré. Par exemple, un polynôme annulateur non minimal peut avoir un degré supérieur sans changer la dimension de K(α) sur K.

Le degré ne se confond pas non plus avec le nombre d'éléments du corps. Même une extension de degré 2 contient une infinité de nombres lorsque le corps de base est infini ; le degré compte les éléments d'une base, pas les éléments du corps.

Une extension peut avoir un degré infini. Dans ce cas, elle n'est pas une extension finie et il n'est pas possible de résumer sa dimension par un entier. Il faut conserver la formulation de dimension infinie au lieu d'appliquer mécaniquement la multiplicativité numérique.

La formule multiplicative concerne une véritable tour de corps K ⊂ L ⊂ M. Si l'une des inclusions ou l'un des corps n'est pas correctement identifié, le produit peut être mal interprété ; il faut alors revenir aux espaces vectoriels et à leurs bases.

Enfin, la règle « degré du polynôme minimal » suppose une extension simple engendrée par un élément algébrique. Pour un élément transcendant, aucun polynôme minimal de ce type n'existe ; cette méthode ne s'applique donc pas.

La fiche Extension de corps présente le cadre général dans lequel une dimension de L sur K devient un degré. Elle aide à replacer la notation et les inclusions de corps avant d'utiliser la multiplicativité.

La fiche Polynôme minimal détaille l'objet qui permet de calculer le degré d'une extension simple. Elle permet de comprendre pourquoi le plus petit polynôme annulateur suffit pour mesurer la dimension.

La fiche constructibilité prolonge cette notion vers les constructions à la règle et au compas, où les degrés renseignent sur les nombres constructibles.