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Corps de rupture
Le corps de rupture d'un polynôme irréductible f sur un corps K est la plus petite extension de K contenant au moins une racine de f. Il se construit comme K[x]/(f(x)) et est unique à K-isomorphisme près. Il ne faut pas le confondre avec le corps de décomposition : le premier garantit au moins une racine, le second les contient toutes. Cette construction permet de bâtir des extensions algébriques pas à pas.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire un corps de rupture sous la forme K[x]/(f).
- Refaire le calcul complet pour x³ − 2 sur ℚ.
- Réduire des expressions et vérifier une inversion grâce à f(α) = 0.
- Distinguer corps de rupture, corps de décomposition, anneau quotient et clôture algébrique.
- Interpréter correctement l’unicité à K-isomorphisme près.
En clair
Le polynôme x3 − 2 n’a aucune racine rationnelle. On peut pourtant agrandir ℚ juste assez pour lui en donner une. On ajoute un nombre α soumis à la règle α3 = 2. Dans ce nouvel univers, tout calcul se ramène à une expression de la forme a + bα + cα2, avec a, b et c rationnels.
Ce nouvel univers est un corps de rupture : il contient ℚ, accueille une racine qui manquait et n’ajoute que ce que cette racine engendre par les opérations du corps.
Définition
Soit K un corps, et soit f un polynôme irréductible non constant à coefficients dans K. Un corps de rupture de f sur K est une extension E de K dans laquelle f possède une racine α et qui est engendrée par cette racine : E = K(α). La minimalité porte donc sur l’extension engendrée par une racine choisie, et non sur une inclusion canonique commune à tous les corps possibles.
La construction standard part de l’anneau K[x] des polynômes en une indéterminée x. Comme f est irréductible, l’idéal (f) est maximal et le quotient est un corps : . La classe α de x dans ce quotient vérifie f(α) = 0. Si le degré de f est n, chaque élément de E possède une écriture unique comme combinaison de 1, α, …, αn−1 à coefficients dans K ; ainsi, E est de dimension n sur K.
Deux choix de racines de f conduisent à des extensions K-isomorphes : l’isomorphisme fixe chaque élément de K et envoie la classe de x sur la racine choisie. Cette unicité ne signifie pas que les extensions sont le même sous-corps d’un corps plus grand. Enfin, un corps de rupture contient au moins une racine de f ; il peut, selon f et K, en contenir plusieurs, voire toutes.
De quoi c'est fait
La construction réunit cinq éléments. Le corps de base K fournit les coefficients et les opérations déjà disponibles. Le polynôme irréductible f indique la relation algébrique à imposer. L’anneau K[x] contient les expressions polynomiales avant cette relation. L’idéal (f) regroupe les multiples de f, que le quotient rend égaux à zéro. Enfin, la classe α de x devient la racine recherchée.
L’irréductibilité de f rend l’idéal (f) maximal ; c’est précisément ce qui fait de K[x]/(f) un corps plutôt qu’un simple anneau quotient. La relation f(α) = 0 permet ensuite de réduire toute puissance élevée de α. Pour f(x) = x3 − 2 sur ℚ, la règle α3 = 2 ramène ainsi chaque élément à a + bα + cα2. Ces données suffisent à effectuer additions, produits et inversions dans l’extension.
Un exemple, pas à pas
On construit un corps de rupture de f(x) = x3 − 2 sur le corps ℚ. Les données sont le corps de base ℚ, le polynôme f et la classe α de x dans le quotient.
1. Vérifier l’irréductibilité. Un polynôme cubique réductible sur ℚ aurait une racine rationnelle. Les seuls candidats sont ±1 et ±2 ; aucun n’annule x3 − 2. Le polynôme est donc irréductible.
2. Former le quotient. On pose . Dans E, la classe α de x satisfait α3 = 2. Chaque élément s’écrit de manière unique a + bα + cα2, avec a, b et c rationnels.
3. Contrôler une inversion. Le produit se réduit grâce à α3 = 2 : . Ainsi, l’inverse de 1 + α est (1 − α + α2)/3.
4. Lire le résultat. Le corps E est ℚ(α), avec α = ∛2 dans son plongement réel. Il contient cette racine, mais pas les deux racines complexes αω et αω2, où ω est une racine cubique de l’unité différente de 1. Le contrôle est refaisable : substituer α3 = 2 dans le produit précédent redonne exactement 3.
En pratique
Pour adjoindre une solution algébrique, on quotient K[x] par un facteur irréductible du polynôme étudié. Si le facteur choisi est déjà linéaire sur K, aucune véritable extension n’est nécessaire : sa racine appartient déjà au corps de base.
Pour calculer avec la nouvelle racine, on remplace les puissances trop élevées grâce à la relation f(α) = 0. Dans ℚ(∛2), α3 devient 2 ; une base finie suffit alors pour additionner, multiplier et chercher des inverses.
Pour obtenir toutes les racines, le corps de rupture ne suffit pas toujours. On choisit le corps de décomposition lorsque le critère recherché est la factorisation complète du polynôme en facteurs linéaires. Pour x3 − 2 sur ℚ, il faut ajouter à α une racine cubique de l’unité non réelle.
À ne pas confondre
Corps de décomposition. Il doit contenir toutes les racines du polynôme, tandis qu’un corps de rupture est engendré par une racine. Pour x3 − 2 sur ℚ, ℚ(∛2) est un corps de rupture réel, mais la décomposition complète exige aussi une racine cubique de l’unité non réelle.
Anneau quotient quelconque. Le quotient K[x]/(g) n’est un corps que si g est irréductible sur K. Par exemple, ℚ[x]/(x2 − 1) possède des diviseurs de zéro, car les classes de x − 1 et x + 1 sont non nulles mais leur produit est nul.
Clôture algébrique. Une clôture algébrique accueille les racines de tous les polynômes non constants sur K. Un corps de rupture répond seulement à un polynôme irréductible donné : ℚ(∛2) ne fournit pas, à lui seul, toutes les solutions algébriques sur ℚ.
Limites et pièges
« Une racine » signifie au moins une. Le symptôme du piège est d’affirmer qu’aucune autre racine ne peut appartenir au corps obtenu. Un corps de rupture peut déjà être un corps de décomposition ; pour tout polynôme irréductible de degré 2, connaître une racine donne aussi l’autre par les relations entre coefficients et racines.
Le quotient dépend du corps de base. Avant d’écrire K[x]/(f), il faut vérifier l’irréductibilité dans K[x], et non dans un anneau de coefficients différent. Un polynôme irréductible sur ℚ peut se factoriser après extension des scalaires ; il faut alors choisir un facteur irréductible dans le nouveau corps.
L’unicité est à K-isomorphisme près. Deux réalisations peuvent être des sous-corps distincts d’un même surcorps. Il faut produire un isomorphisme qui fixe K et envoie une racine choisie sur l’autre, au lieu de déclarer les ensembles égaux.
L’écriture réduite utilise le degré de f. Si f a degré n, les puissances de 1 à αn−1 forment la base attendue. Conserver αn sans appliquer f(α) = 0 masque la relation qui définit le quotient et peut fausser les calculs.
Pour aller plus loin
Le glossaire Irréductible (polynôme) précise le critère qui garantit que le quotient par (f) est bien un corps.
La fiche anneau quotient développe le mécanisme d’identification modulo un idéal utilisé dans K[x]/(f).
Le glossaire Corps de décomposition poursuit la construction jusqu’à obtenir toutes les racines et une factorisation complète.
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