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Corps de nombres
Un corps de nombres est une extension finie du corps des nombres rationnels. Son degré est la dimension en tant qu'espace vectoriel sur les rationnels. Les exemples fondamentaux sont les corps quadratiques (de degré 2) et les corps cyclotomiques. La théorie des corps de nombres est le domaine central de la théorie algébrique des nombres ; elle étudie la structure de l'anneau des entiers, les idéaux, le groupe des classes et les unités. Elle est liée à la géométrie des nombres et à la théorie analytique des nombres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier un corps de nombres comme une extension finie de ℚ.
- Calculer le degré de ℚ(√2) à partir de sa base.
- Relier le corps à son anneau des entiers, à ses idéaux, à ses unités et au groupe des classes.
- Éviter les confusions avec un nombre algébrique, un corps fini et un simple anneau engendré.
En clair
Prenons les nombres rationnels, puis ajoutons √2 tout en conservant les quatre opérations usuelles. On obtient des nombres comme 3 + 2√2 ou 5 − √2. Leur ensemble, noté ℚ(√2), est un corps de nombres.
Deux briques suffisent pour y écrire chaque élément : 1 et √2, avec des coefficients rationnels. Cette description à deux coordonnées explique que ℚ(√2) soit de degré 2 sur ℚ.
Définition
Un corps de nombres est un corps K qui contient le corps ℚ des nombres rationnels et qui est de dimension finie comme espace vectoriel sur ℚ. Cette dimension est appelée le degré de K sur ℚ et se note . Dire que ce degré est fini signifie qu'une liste finie d'éléments de K permet d'écrire, de manière unique, tout élément de K avec des coefficients rationnels.
Dans l'exemple K = ℚ(√2), la liste formée de 1 et √2 est une base. Tout élément s'écrit donc de façon unique a + b√2, où a et b sont rationnels, et le degré vaut 2. Plus généralement, un corps quadratique est un corps de nombres de degré 2. Un corps cyclotomique s'obtient en adjoignant à ℚ une racine de l'unité primitive ; il constitue une autre famille fondamentale.
À l'intérieur de K, les éléments qui sont racines d'un polynôme unitaire à coefficients entiers forment l'anneau des entiers de K. Cet anneau permet d'étudier la divisibilité au moyen des idéaux. Les unités y sont les éléments inversibles, tandis que le groupe des classes mesure l'obstruction à représenter chaque idéal par les multiples d'un seul élément. Ces objets relient les corps de nombres à la géométrie des nombres et à la théorie analytique des nombres.
De quoi c'est fait
La structure commence par le corps de base ℚ et le corps étendu K. Une base vectorielle décrit chaque élément de K par un nombre fini de coordonnées rationnelles. Pour K = ℚ(√2), la base (1, √2) donne la forme unique a + b√2 et fixe le degré à 2.
Vient ensuite l'anneau des entiers de K, constitué des éléments satisfaisant une équation unitaire à coefficients entiers. Il dépend donc du corps K, et non du choix d'une base. Dans cet anneau, les idéaux organisent la divisibilité et les unités sont les éléments qui possèdent un inverse dans le même anneau.
Enfin, le groupe des classes est le groupe des idéaux fractionnaires non nuls modulo les idéaux principaux. Le corps, son anneau des entiers, ses idéaux, ses unités et son groupe des classes fournissent ainsi les données structurelles étudiées en théorie algébrique des nombres.
Un exemple, pas à pas
Considérons K = ℚ(√2). Les données sont les suivantes :
• le corps de base est ℚ ;
• l'élément ajouté est √2 ;
• il satisfait l'équation X2 − 2 = 0 ;
• les coefficients employés sont rationnels.
• le corps de base est ℚ ;
• l'élément ajouté est √2 ;
• il satisfait l'équation X2 − 2 = 0 ;
• les coefficients employés sont rationnels.
1. Le polynôme X2 − 2 n'a pas de racine rationnelle. Il est donc irréductible sur ℚ.
2. Son degré vaut 2. La famille (1, √2) est une base de K sur ℚ, d'où .
3. Choisissons les éléments 1 + √2 et 3 − 2√2. Leur produit se calcule en utilisant (√2)2 = 2.
4. Le résultat −1 + √2 possède encore la forme a + b√2 avec a = −1 et b = 1 rationnels. Ce contrôle montre que la multiplication reste dans K ; le calcul direct des quatre termes permet de retrouver le résultat.
En pratique
Pour étudier une équation polynomiale à coefficients rationnels, on peut travailler dans le corps obtenu en ajoutant une racine. Si la racine est déjà rationnelle, ℚ suffit ; sinon, le degré du corps précise le nombre de coordonnées rationnelles nécessaires.
Pour une question de divisibilité, on passe du corps à son anneau des entiers. Les idéaux sont préférés aux seuls éléments lorsque la décomposition en facteurs ne se comporte pas comme dans les entiers ordinaires.
Pour comparer deux corps quadratiques, on examine d'abord leur degré et l'élément adjoint, puis leur anneau des entiers, leurs unités et leurs classes d'idéaux. Une simple écriture différente des générateurs ne suffit pas à conclure que les corps sont différents.
À ne pas confondre
Un nombre algébrique et un corps de nombres. Un nombre algébrique est un nombre complexe qui est racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels ; un corps de nombres est un ensemble muni d'opérations. √2 est un nombre algébrique, tandis que ℚ(√2) contient tous les a + b√2 à coefficients rationnels.
Un corps fini et une extension finie. « Finie » qualifie ici la dimension sur ℚ, pas le nombre d'éléments. Le corps ℚ(√2) a une base de deux éléments sur ℚ, mais il contient une infinité d'éléments.
Le corps K et son anneau des entiers. Le corps autorise la division par tout élément non nul ; son anneau des entiers est une partie plus petite. Ainsi, 1/2 appartient à ℚ, mais pas à l'anneau ℤ des entiers de ℚ.
Limites et pièges
Le degré 1 n'est pas exclu. Le corps ℚ est lui-même un corps de nombres de degré 1. Il ne faut donc pas réserver l'expression aux extensions strictement plus grandes que ℚ.
Adjoindre une racine carrée ne donne pas toujours le degré 2. Si le nombre sous la racine est déjà le carré d'un rationnel, l'élément ajouté appartient à ℚ. Par exemple, ℚ(√4) = ℚ ; il faut vérifier si le polynôme X2 − d est irréductible sur ℚ.
Un générateur ne détermine pas une écriture unique du corps. Puisque √8 = 2√2, les écritures ℚ(√8) et ℚ(√2) décrivent le même corps. Pour comparer deux présentations, il faut vérifier les inclusions ou ramener les générateurs à une même base.
L'anneau engendré n'est pas toujours l'anneau entier maximal. Dans ℚ(√5), l'élément (1 + √5)/2 est un entier algébrique, bien qu'il n'appartienne pas à ℤ[√5]. Il faut déterminer l'anneau des entiers avant d'étudier ses idéaux ou ses unités.
Pour aller plus loin
Le glossaire corps quadratique approfondit le cas de degré 2 qui sert d'exemple conducteur.
Le glossaire Corps cyclotomique présente l'autre famille fondamentale citée dans la définition de référence.
Le glossaire anneau de Dedekind précise la structure qui encadre la factorisation des idéaux.
L'article De nouveaux nombres avec Richard Dedekind prolonge l'étude vers les entiers algébriques et les idéaux.
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