Degrés étagés

Imaginez trois boîtes de nombres emboîtées : les nombres de départ, puis ceux obtenus en ajoutant une première solution, enfin ceux qui apparaissent après une seconde. Chaque étage indique combien de nombres indépendants sont nécessaires pour décrire la boîte supérieure à partir de la boîte précédente. Le degré total compte les étages d'un seul coup. Ainsi, deux étages de degrés 2 et 3 donnent un degré total de 6, car chaque choix du premier étage peut se combiner avec chacun du second. Cette multiplication transforme une tour en mesure globale de sa complexité.

Soient K, L et M des corps tels que K soit contenu dans L, lui-même contenu dans M. Le degré [L:K] est la dimension de L comme espace vectoriel sur K ; il mesure le nombre d'éléments d'une base de L dont les combinaisons à coefficients dans K décrivent tous les éléments de L. De même, [M:L] mesure l'extension de L à M, tandis que [M:K] mesure directement l'extension de K à M. Les degrés [L:K] et [M:L] sont les degrés étagés de la tour.

Lorsque ces degrés sont finis, le théorème de multiplicativité donne l'identité suivante :

La formule signifie que l'on peut compter une base de M sur K en comptant d'abord une base de M sur L, puis une base de L sur K. Elle s'applique à toute tour finie de corps, étage par étage. Les mêmes degrés peuvent aussi être lus comme des indices de sous-groupes emboîtés dans le cadre d'une extension galoisienne, mais cette lecture demande des hypothèses supplémentaires.

Considérons la tour conductrice ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√2,√3). Le premier corps est celui des nombres rationnels. Le deuxième s'obtient en ajoutant √2, et le troisième en ajoutant √3 au deuxième.

Les données utiles sont les suivantes : √2 n'est pas rationnel, √3 n'appartient pas à ℚ(√2), et chaque extension quadratique correspond donc à un degré 2.

Le premier étage donne [ℚ(√2):ℚ] = 2.
Le second étage donne [ℚ(√2,√3):ℚ(√2)] = 2.
La multiplicativité donne alors :

Le degré direct vaut donc 4. Un contrôle consiste à reconnaître la base 1, √2, √3, √6, qui contient exactement quatre éléments indépendants sur ℚ.

Pour calculer le degré d'une extension construite par étapes, repérez d'abord les corps emboîtés et nommez chaque degré relatif. Le geste utile consiste à multiplier les degrés finis successifs plutôt qu'à chercher immédiatement une base du corps le plus grand sur le plus petit.

Dans l'exemple ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√2,√3), cette méthode remplace un calcul direct par deux vérifications quadratiques. Elle donne 2 × 2 = 4 et indique aussi la taille attendue d'une base finale.

Si un étage est difficile à décrire, choisissez une tour intermédiaire dont le degré est connu. Cette organisation est particulièrement utile pour suivre la complexité d'une extension algébrique ou d'une construction par radicaux.

Le degré d'un polynôme et le degré d'une extension de corps ne désignent pas la même grandeur. Pour un polynôme non nul, le premier est le plus grand exposant du polynôme ; le second est une dimension vectorielle. Ils coïncident parfois, par exemple pour le polynôme minimal irréductible d'un élément, mais cette coïncidence doit être établie, non supposée.

Le degré total [M:K] ne doit pas être confondu avec la somme [M:L] + [L:K]. Dans une tour finie, le critère qui tranche est la multiplicativité : le degré direct est le produit des degrés relatifs, comme 2 × 2 = 4 dans la tour quadratique de l'exemple.

Enfin, une tour d'extensions est une chaîne de corps emboîtés ; elle n'est pas, à elle seule, une tour de sous-groupes. La correspondance avec des sous-groupes exige le cadre galoisien approprié.

La multiplicativité énoncée ici suppose des degrés finis. Si [L:K] ou [M:L] est infini, on ne peut pas appliquer sans précaution une multiplication ordinaire de deux entiers ; il faut raisonner avec les dimensions cardinales ou une formulation adaptée.

Un étage annoncé comme quadratique n'a réellement le degré 2 que si le nouvel élément n'appartient pas au corps précédent. Si √3 était déjà dans ℚ(√2), le second degré serait 1 et le degré total serait 2, non 4.

La notation [M:K] ne mesure pas le nombre d'éléments de M. Les corps considérés peuvent être infinis ; le degré mesure une dimension sur un corps de base. Dans l'exemple, ℚ(√2,√3) contient une infinité de nombres, malgré son degré fini 4 sur ℚ.

La lecture en sous-groupes emboîtés n'est pas automatique. Elle concerne les extensions galoisiennes et dépend du choix du groupe de Galois ainsi que de la correspondance utilisée.

Les degrés étagés ouvrent vers l'étude des extensions algébriques et de la théorie de Galois. La formule de multiplicativité fournit une première mesure de la complexité d'une tour ; l'étape suivante consiste à comprendre comment les automorphismes du corps supérieur reflètent ses étages et ses sous-structures.