Corps cyclotomique

Sur le cercle unité, cinq points régulièrement espacés donnent les solutions de l’équation « un nombre élevé à la puissance 5 vaut 1 ». L’un d’eux est 1 ; les quatre autres font parcourir tout le pentagone quand on les multiplie plusieurs fois par eux-mêmes.

Les nombres rationnels ne contiennent pas ces quatre points. En ajoutant l’un d’eux et toutes les opérations de corps qui en découlent, on obtient un corps cyclotomique. Pour cinq points, l’espace ainsi créé a quatre dimensions lorsqu’on le regarde depuis les rationnels.

Soit n un entier positif. Une racine n-ième de l’unité est un nombre complexe dont la puissance n-ième vaut 1. Elle est dite primitive lorsque n est le plus petit exposant positif qui donne 1. Si ζ_n est une telle racine primitive, le corps cyclotomique d’indice n est le plus petit corps contenant à la fois les nombres rationnels, notés ℚ, et ζ_n. On le note ℚ(ζ_n).

Le polynôme cyclotomique d’indice n, noté Φ_n, a précisément pour racines les racines n-ièmes primitives de l’unité. Son degré est le nombre d’entiers compris entre 1 et n qui sont premiers avec n. Ce nombre est la valeur φ(n) de l’indicatrice d’Euler. Par conséquent : $[\mathbb{Q}({\zeta }_n):\mathbb{Q}]=\mathrm{deg}({\mathrm{\Phi }}_n)=\phi (n)[\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_n):\backslash mathbb\{Q\}]=\backslash deg(\backslash Phi\_n)=\backslash varphi(n)$.

Choisir une autre racine primitive du même ordre ne change pas le corps obtenu : elle est une puissance de ζ_n d’exposant premier avec n. La construction dépend donc de l’ordre n, et non du point primitif particulier choisi sur le cercle.

La construction repose sur quatre éléments. L’entier positif n fixe l’ordre des racines étudiées. Le corps ℚ fournit les coefficients rationnels de départ. Une racine primitive ζ_n apporte le nouveau nombre, et le polynôme Φ_n décrit exactement toutes les racines primitives de cet ordre.

L’ordre n détermine à la fois Φ_n et le nombre φ(n) de racines primitives. Le polynôme relie ensuite ζ_n aux rationnels, tandis que son degré donne la dimension de ℚ(ζ_n) comme espace vectoriel sur ℚ. Ces données suffisent à construire chaque élément sous forme de combinaison rationnelle de 1, ζ_n, puis de puissances successives jusqu’à l’exposant φ(n) − 1. La position dessinée d’une racine sur le cercle aide à voir la construction, mais ne constitue pas une donnée supplémentaire du corps.

Prenons l’ordre n = 5. Les données sont l’entier 5, le corps de départ ℚ et une racine primitive ζ telle que ζ⁵ = 1, avec ζ ≠ 1. La figure matérialise les cinq puissances successives de ζ sur le cercle unité.

1. Parmi les entiers 1, 2, 3 et 4, tous sont premiers avec 5. L’indicatrice d’Euler vaut donc φ(5) = 4.

2. Les quatre racines primitives sont ζ, ζ², ζ³ et ζ⁴. Le point 1 = ζ⁵ est bien une racine cinquième, mais il n’est pas primitif.

3. Leur polynôme commun est : ${\mathrm{\Phi }}_5(X)=X^4+X^3+X^2+X+1\backslash Phi\_5(X)=X^4+X^3+X^2+X+1$. En effet, multiplier ce polynôme par X − 1 redonne X⁵ − 1.

4. Le corps ℚ(ζ) a donc le degré 4 sur ℚ. Chaque élément s’écrit de manière unique sous la forme $a+b\zeta +c{\zeta }^2+d{\zeta }^{3}a+b\backslash zeta+c\backslash zeta^2+d\backslash zeta^3$, où a, b, c et d sont rationnels.

Le contrôle est double : le polynôme Φ₅ a bien quatre racines, et le décompte des entiers premiers avec 5 donne aussi quatre. Les deux calculs confirment le degré annoncé.

En théorie algébrique des nombres, on introduit un corps cyclotomique lorsqu’une question fait intervenir des racines de l’unité. Au lieu de rester dans ℚ, où ces racines manquent, on travaille dans ℚ(ζ_n), qui les contient avec leurs opérations algébriques.

Pour suivre les symétries des racines, on observe les remplacements de ζ_n par ses puissances primitives. Cette organisation est celle qu’exploite la théorie de Galois ; un simple calcul dans ℚ suffit seulement lorsque aucune racine non rationnelle n’intervient.

Les corps cyclotomiques servent aussi de cadre aux lois de réciprocité, aux liens avec les formes quadratiques et à l’étude du problème de Fermat. Le geste commun consiste à transformer une question arithmétique sur les entiers en une question de factorisation dans un corps de nombres adapté.

Racine n-ième et racine primitive. Une racine n-ième vérifie zⁿ = 1 ; elle est primitive seulement si aucun exposant positif plus petit ne donne 1. Pour n = 5, le nombre 1 est une racine cinquième, mais son ordre vaut 1 : il n’engendre pas le pentagone.

Polynôme et corps cyclotomiques. Φ_n est un polynôme à coefficients entiers dont les zéros sont les racines primitives. ℚ(ζ_n) est un corps de nombres obtenu en adjoignant l’un de ces zéros. Pour n = 5, le premier est donné par une expression de degré 4 ; le second contient toutes les combinaisons rationnelles des puissances de ζ.

Le degré n’est généralement pas n. Le symptôme du piège est de compter toutes les racines n-ièmes au lieu des seules racines primitives. Il faut calculer φ(n). Pour n = 5, cinq points apparaissent sur le cercle, mais le corps a le degré 4.

Les petits ordres peuvent ne rien ajouter. Pour n = 1, la racine primitive est 1 ; pour n = 2, elle est −1. Ces deux nombres appartiennent déjà à ℚ, et φ(1) = φ(2) = 1. Il faut donc vérifier le degré avant de conclure que l’extension agrandit le corps de départ.

Le choix d’une racine primitive n’est pas un choix de corps. Deux dessins peuvent marquer des sommets différents et sembler produire deux objets. Pour un même n, les racines primitives sont des puissances les unes des autres et engendrent le même corps ; il faut comparer leur ordre, pas leur position graphique.

La fiche Racine n-ième de l'unité détaille les points du cercle dont les puissances reviennent à 1, avant de distinguer ceux qui sont primitifs.

La fiche Cyclotomique (polynôme) approfondit le polynôme minimal qui relie une racine primitive aux coefficients rationnels.

La fiche théorème de Fermat prolonge le lien arithmétique signalé par la définition source et situe le problème auquel les corps cyclotomiques sont liés.