Racine n-ième de l'unité

Imaginez quatre points régulièrement espacés sur un cercle : un à droite, un en haut, un à gauche et un en bas. Ils représentent 1, i, −1 et −i, où i est le nombre complexe dont le carré vaut −1. Élevé à la quatrième puissance, chacun donne 1. Ce sont donc les quatre racines quatrièmes de l'unité. La figure matérialise leur espacement régulier : multiplier par i fait passer d'un point au suivant et, après quatre pas, ramène au départ.

Soit n un entier positif. Une racine n-ième de l'unité est un nombre complexe z qui vérifie $z^n=1z^n=1$. Il y en a exactement n. En notant i le nombre complexe tel que i² = −1, et k un entier allant de 0 à n − 1, elles s'écrivent :

Leur module vaut 1 : elles sont sur le cercle unité, à intervalles angulaires égaux de 2π/n radians. Leur multiplication additionne les indices modulo n ; elles constituent ainsi un groupe cyclique d'ordre n. Une racine est dite primitive lorsque ses puissances parcourent les n racines avant de revenir à 1. La racine exp(2iπ/n) est primitive et engendre donc toutes les autres. Plus généralement, la racine d'indice k est primitive exactement lorsque k et n sont premiers entre eux.

Cherchons les racines quatrièmes de l'unité. Les données sont n = 4, les indices k = 0, 1, 2, 3 et l'unité imaginaire i, définie par i² = −1. L'angle entre deux racines successives vaut 2π/4 = π/2 radians.

1. Pour k = 0, l'angle est nul et la racine vaut 1.
2. Pour k = 1, l'angle vaut π/2 et la racine vaut i.
3. Pour k = 2, l'angle vaut π et la racine vaut −1.
4. Pour k = 3, l'angle vaut 3π/2 et la racine vaut −i.

On obtient donc quatre résultats distincts : 1, i, −1 et −i. Le contrôle se refait directement : $1^4=i^4=(-1{)}^4=(-i{)}^4=11^4=i^4=(-1)^4=(-i)^4=1$. De plus, les puissances successives de i donnent i, −1, −i puis 1 : i est primitive, tandis que −1 revient à 1 dès sa deuxième puissance et ne l'est pas.

En algèbre, ces racines permettent d'étudier la factorisation de zⁿ − 1. Lorsqu'on veut isoler les racines qui engendrent toutes les autres, on retient les racines primitives ; les corps cyclotomiques et la théorie de Galois organisent ensuite les relations entre elles.

En théorie des signaux, la transformée de Fourier discrète s'appuie sur des puissances d'une racine primitive pour décomposer une suite finie. Pour n = 4, les coefficients fondamentaux sont précisément les puissances de i : 1, i, −1 et −i, selon la convention de signe choisie.

En arithmétique, la question utile est souvent de savoir quelles racines sont primitives. Le test consiste à vérifier que l'indice k et l'entier n sont premiers entre eux ; pour n = 4, les indices 1 et 3 conviennent, mais pas 0 ni 2.

Racine n-ième de l'unité et racine n-ième d'un autre nombre. Le critère est le résultat de la puissance n-ième : il doit être exactement 1. Ainsi, i est une racine quatrième de l'unité, tandis qu'une solution de z⁴ = 16 ne l'est pas.

Racine de l'unité et racine primitive. Toute racine primitive est une racine de l'unité, mais l'inverse est faux. Pour n = 4, −1 est bien une racine quatrième de l'unité ; ses puissances ne produisent toutefois que −1 et 1, donc elle n'engendre pas les quatre racines.

Solutions réelles et solutions complexes. Dans les nombres complexes, zⁿ = 1 possède n solutions. Si l'on se limite aux nombres réels, il n'en reste que 1 lorsque n est impair, et 1 ainsi que −1 lorsque n est pair.

La valeur de n est encadrée. L'expression « n-ième » suppose ici un entier positif. Le cas charnière n = 1 donne une seule racine, 1 ; n = 0 ne fournit pas une famille de zéro racine définie par la règle générale.

Les indices se répètent modulo n. Écrire k au-delà de n − 1 ne crée pas de nouvelles racines. Pour n = 4, les indices 0 et 4 donnent tous deux 1 ; il faut choisir une série de n indices consécutifs pour compter chaque solution une fois.

Une primitive n'est pas toujours unique. La racine exp(2iπ/n) est un générateur privilégié, mais toute racine d'indice premier avec n est également primitive. Pour n = 4, i et −i engendrent chacune les quatre racines.

Le sens de parcours dépend de la convention. Les angles positifs sont habituellement lus dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une convention de signe opposée, notamment dans Fourier, inverse l'ordre des points sans changer l'ensemble des racines.

Le groupe cyclique précise pourquoi une racine primitive suffit à engendrer toutes les racines par multiplications successives.

L'entrée Cyclotomique (polynôme) isole algébriquement les racines primitives et prolonge la factorisation de zⁿ − 1.

La Transformée de Fourier montre comment ces points régulièrement espacés interviennent dans l'analyse d'une suite finie.

L'article De la transformation de Fourier à la transformée en cosinus discrète replace cette application dans une chaîne de transformations discrètes.