Cyclotomique (polynôme)

Plaçons six points régulièrement espacés sur un cercle. Ils représentent les nombres complexes qui, élevés à la puissance six, donnent 1. Deux d’entre eux seulement font parcourir les six positions avant de revenir au départ : ce sont les racines primitives sixièmes de l’unité.

Le polynôme cyclotomique d’indice 6 rassemble précisément ces deux nombres comme racines. Plus généralement, chaque indice n sélectionne les racines qui accomplissent un cycle complet de longueur n, sans revenir plus tôt à 1.

Soit n un entier au moins égal à 1. Une racine n-ième de l’unité est dite primitive lorsque n est le plus petit exposant positif qui la ramène à 1. Le polynôme cyclotomique d’indice n, noté par la lettre grecque phi majuscule avec l’indice n, est le polynôme minimal sur les rationnels de l’une de ces racines.

Ses racines sont exactement les nombres $e^{2\pi ik\mathrm{/}n}e^\{2\backslash pi\; i\; k/n\}$ pour lesquels l’entier k est premier avec n. Leur nombre, donc le degré du polynôme, est l’indicatrice d’Euler de n, notée $\phi (n)\backslash varphi(n)$. Le polynôme est irréductible sur le corps des nombres rationnels.

Les polynômes cyclotomiques répartissent toutes les racines de l’unité selon leur ordre exact. Pour tout entier n positif, le produit porte sur les diviseurs positifs d de n :

Quatre éléments organisent l’objet. L’indice n fixe le cycle étudié. Les racines primitives sont les racines n-ièmes dont l’ordre vaut exactement n. Le polynôme minimal sur les rationnels réunit ces racines et constitue le polynôme cyclotomique. Enfin, l’indicatrice d’Euler compte les entiers compris entre 1 et n qui sont premiers avec n.

L’indice détermine donc à la fois quelles racines sont retenues et combien il y en a. Ce nombre fixe à son tour le degré du polynôme. La relation de produit avec Xⁿ − 1 permet de construire le facteur d’indice n après avoir isolé ceux associés aux diviseurs plus petits.

Cherchons le polynôme cyclotomique d’indice 6. Les données sont : n = 6 ; ses diviseurs positifs sont 1, 2, 3 et 6 ; les entiers entre 1 et 6 premiers avec 6 sont 1 et 5. La figure représente les six racines sixièmes de l’unité ; les deux racines primitives y sont distinguées.

1. On utilise les facteurs déjà associés aux indices 1, 2 et 3 :

2. L’identité de produit donne alors le facteur restant :

3. Les exposants 1 et 5 fournissent les deux racines $e^{i\pi \mathrm{/}3}e^\{i\backslash pi/3\}$ et $e^{5i\pi \mathrm{/}3}e^\{5i\backslash pi/3\}$. Leur nombre confirme que le degré vaut $\phi (6)=2\backslash varphi(6)=2$.

4. Pour contrôler le calcul, on remultiplie :Le facteur recherché est donc bien X² − X + 1.

Pour factoriser Xⁿ − 1, on classe ses racines selon leur ordre exact. Chaque ordre divisant n fournit un facteur cyclotomique. Si l’on cherche toutes les racines n-ièmes sans distinguer leur ordre, le polynôme Xⁿ − 1 est l’objet adapté.

Pour obtenir une relation polynomiale irréductible sur les rationnels satisfaite par une racine primitive, on choisit le polynôme cyclotomique correspondant. Si la racine étudiée n’est pas primitive, son ordre réel indique un indice plus petit.

En théorie algébrique des nombres, ces polynômes donnent accès aux extensions engendrées par les racines primitives de l’unité. Le degré attendu se lit immédiatement grâce à l’indicatrice d’Euler.

Une racine n-ième de l’unité n’est pas nécessairement primitive. Le critère est son ordre : pour n = 6, le nombre −1 vérifie bien (−1)⁶ = 1, mais son ordre vaut 2 ; il n’est donc pas racine de X² − X + 1.

Le polynôme Xⁿ − 1 contient toutes les racines n-ièmes, tandis que le polynôme cyclotomique d’indice n ne conserve que celles d’ordre exact n. Pour n = 6, leurs degrés respectifs sont 6 et 2.

L’indice ne donne pas le degré. Le degré de ${\mathrm{\Phi }}_n\backslash Phi\_n$ vaut $\phi (n)\backslash varphi(n)$, et non n en général. À l’indice 6, le degré vaut 2 : compter les entiers premiers avec 6 évite cette erreur.

Le cas n = 1 suit la même définition : 1 est l’unique racine primitive première de l’unité et ${\mathrm{\Phi }}_1(X)=X-1\backslash Phi\_1(X)=X-1$. Il ne faut donc pas réserver le mot « primitif » aux cycles comportant plusieurs points.

L’irréductibilité annoncée concerne les coefficients rationnels. Changer le corps de coefficients change la question de factorisation ; il faut toujours préciser ce corps avant de conclure qu’un polynôme ne se factorise pas.

Dans la notation exponentielle, seuls les exposants k premiers avec n sont retenus. Oublier cette condition mélange racines primitives et racines revenues à 1 après un nombre plus petit d’étapes.

La fiche Racine n-ième de l'unité replace les racines primitives parmi toutes les solutions de Xⁿ = 1.

La fiche Polynôme minimal précise pourquoi une racine primitive est décrite par un unique polynôme irréductible unitaire sur les rationnels.

L’article Les nombres complexes de module 1 approfondit le cercle sur lequel se placent toutes les racines de l’unité.