critère d'Eisenstein

Regardons les coefficients de X⁴ + 10X + 5 : 1, 0, 0, 10 et 5. Le nombre premier 5 divise tous ceux qui suivent le premier, mais il ne divise pas ce premier coefficient. De plus, 25 ne divise pas le coefficient constant 5.

Ce motif suffit à verrouiller le polynôme : il est impossible de le décomposer en un produit de deux polynômes de degrés positifs à coefficients rationnels. Le critère d'Eisenstein transforme ainsi une série de petits tests de divisibilité en une preuve d'irréductibilité.

Soit P un polynôme non constant à coefficients entiers. On note a_n son coefficient dominant, a₀ son coefficient constant et a_i ses autres coefficients. Sa forme générale est : $P(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}P(X)=a\_nX^n+a\_\{n-1\}X^\{n-1\}+\backslash cdots+a\_1X+a\_0$.

Le critère d'Eisenstein s'applique lorsqu'il existe un nombre premier p qui divise chaque coefficient a_i d'indice inférieur à n, sans diviser a_n, tandis que p² ne divise pas a₀. Sous ces trois conditions, P est irréductible dans Q[X] : aucune factorisation en deux polynômes de degrés positifs à coefficients rationnels n'existe.

Pour conclure à l'irréductibilité dans Z[X], il faut en outre que P soit primitif, c'est-à-dire que le plus grand commun diviseur de tous ses coefficients vaille 1. Le même résultat se transpose d'un anneau factoriel à son corps des fractions. Hilbert en a proposé en 1892 une généralisation aux polynômes à plusieurs variables. Le critère donne une condition suffisante : lorsqu'aucun premier ne convient, il ne dit pas que le polynôme est réductible.

Soit P(X) = a_nXⁿ + … + a₀ un polynôme non constant de Z[X]. S'il existe un nombre premier p tel que :

alors P est irréductible dans Q[X]. Si le pgcd de ses coefficients vaut 1, P est aussi irréductible dans Z[X]. Le symbole ∣ signifie « divise » ; le symbole ∤ signifie « ne divise pas ».

Le polynôme doit être non constant et avoir des coefficients entiers. Il faut ensuite trouver un même nombre premier p pour trois contrôles : p divise tous les coefficients sauf le dominant ; p ne divise pas le dominant ; p² ne divise pas le coefficient constant. Les coefficients nuls ne posent aucun problème, car tout entier non nul divise 0.

Avec X² + 5X + 25 et p = 5, les deux premiers contrôles passent, mais 25 divise le terme constant 25. Le critère est donc muet ; il ne conclut ni à la réductibilité ni à l'irréductibilité. Pour ce polynôme de degré 2, on peut alors étudier son discriminant ou ses éventuelles racines rationnelles.

On veut décider si le polynôme P(X) = X⁴ + 10X + 5 se factorise dans Q[X]. Ses coefficients, du degré 4 au degré 0, sont 1, 0, 0, 10 et 5. On choisit le nombre premier p = 5.

1. Le nombre 5 divise 0, 0, 10 et 5 : tous les coefficients autres que le coefficient dominant satisfont la première condition.

2. Le nombre 5 ne divise pas 1, le coefficient de X⁴.

3. Le carré de 5 vaut 25, et 25 ne divise pas le coefficient constant 5. Le schéma récapitule ces trois vérifications sur la liste complète des coefficients.

Les hypothèses du critère sont réunies, donc P est irréductible dans Q[X]. Enfin, le pgcd de 1, 0, 0, 10 et 5 vaut 1 ; P est primitif et il est aussi irréductible dans Z[X]. Pour refaire le contrôle, il suffit de tester successivement 5 ∣ 0, 5 ∣ 0, 5 ∣ 10, 5 ∣ 5, puis 5 ∤ 1 et 25 ∤ 5.

Face à un polynôme entier, on inspecte d'abord les diviseurs premiers communs aux coefficients autres que le dominant. Dès qu'un candidat apparaît, trois tests de divisibilité peuvent fournir une preuve immédiate.

Si le coefficient constant est divisible par le carré du premier choisi, Eisenstein ne tranche pas. Pour un polynôme de degré 2, l'étude du discriminant devient alors une alternative naturelle.

Si le polynôme n'est pas primitif, le critère peut encore établir son irréductibilité dans Q[X], mais pas dans Z[X]. On calcule donc le pgcd des coefficients avant d'annoncer une conclusion dans l'anneau des polynômes entiers.

Le critère d'Eisenstein ne se confond pas avec le test des racines rationnelles. Eisenstein contrôle des divisibilités entre coefficients ; le test des racines cherche des zéros rationnels. Pour un polynôme de degré 4, l'absence de racine rationnelle n'exclut pas un produit de deux facteurs quadratiques.

Il ne se confond pas non plus avec le lemme de Gauss. Le lemme relie la factorisation d'un polynôme primitif dans Z[X] et dans Q[X] ; le critère d'Eisenstein fournit, lui, des conditions concrètes qui prouvent l'irréductibilité dans Q[X].

L'échec d'une condition n'est pas un verdict de réductibilité. Si p² divise a₀, ou si aucun premier ne divise tous les coefficients requis, il faut employer un autre argument.

Un coefficient constant nul bloque toujours la troisième condition : tout carré premier divise 0. Dans ce cas, le polynôme possède d'ailleurs le facteur X et il est réductible dès que son degré dépasse 1.

Le premier p doit être le même dans les trois contrôles. Choisir un premier pour certains coefficients et un autre pour le terme constant ne constitue pas une application du critère.

La conclusion dans Z[X] exige la primitivité. Par exemple, 2X + 6 satisfait les conditions d'Eisenstein avec p = 3 et est irréductible dans Q[X], mais il se factorise en 2(X + 3) dans Z[X].

La fiche Irréductible (polynôme) précise ce que signifie l'absence de factorisation et le rôle de l'anneau de coefficients.

La fiche nombre premier revient sur la divisibilité qui alimente les trois tests du critère.