ArithmétiqueNotion · Glossaire

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Le contenu d'un polynôme à coefficients entiers est le plus grand diviseur commun (PGCD) de ses coefficients. Un polynôme est dit primitif si son contenu est égal à 1. Le lemme de Gauss affirme que le produit de deux polynômes primitifs est encore primitif, et que le contenu du produit de deux polynômes est le produit de leurs contenus. Ce résultat implique notamment qu'un polynôme irréductible sur les entiers est irréductible sur les rationnels s'il est primitif.

Les PGCD 3 et 5 des deux listes de coefficients se multiplient : le produit a pour coefficients 60, 0, −105, −45 et pour contenu 15.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Calculer le contenu comme PGCD positif des coefficients.
Extraire la partie primitive d'un polynôme à coefficients entiers.
Vérifier sur un produit que les contenus se multiplient.
Distinguer primitivité et irréductibilité.

En clair

Regardons les coefficients 6, 9 et 3 du polynôme 6x² + 9x + 3. Ils sont tous divisibles par 3, mais aucun entier plus grand ne les divise tous. Le contenu du polynôme vaut donc 3. En mettant ce facteur commun en évidence, on obtient 3(2x² + 3x + 1). Le polynôme entre parenthèses a pour contenu 1 : il est primitif. Le contenu sépare ainsi la part entière commune des coefficients de la forme propre du polynôme.

Définition

Soit un polynôme non nul à coefficients entiers, noté f. Son contenu, noté c(f), est le PGCD positif de tous ses coefficients, y compris les coefficients nuls. Cette définition ne dépend pas du signe du polynôme : c(f) = c(−f). Un polynôme est primitif lorsque son contenu vaut 1. Tout polynôme non nul s'écrit de manière unique comme son contenu positif multiplié par un polynôme primitif à coefficients entiers.

Pour deux polynômes f et g à coefficients entiers, le lemme de Gauss donne l'identité suivante :

c (f g) = c (f) c (g)

. Il en résulte notamment que le produit de deux polynômes primitifs est primitif. Il permet aussi de passer correctement des entiers aux rationnels : un polynôme primitif de degré positif est irréductible dans l'anneau des polynômes à coefficients entiers exactement lorsqu'il est irréductible dans celui des polynômes à coefficients rationnels.

Par convention usuelle, le polynôme nul a pour contenu 0. Il n'est donc pas primitif. Le contenu concerne les coefficients, et non les valeurs obtenues lorsque l'on remplace x par un entier.

Un exemple, pas à pas

On considère les deux polynômes f = 6x² + 9x + 3 et g = 10x − 15. Les coefficients de f sont 6, 9 et 3 ; ceux de g sont 10 et −15. Leurs PGCD positifs sont respectivement 3 et 5. La figure synthétise les coefficients utilisés et le résultat attendu pour le produit.

1. Extraire 3 de f : f = 3(2x² + 3x + 1).
2. Extraire 5 de g : g = 5(2x − 3).
3. Multiplier les parties primitives : (2x² + 3x + 1)(2x − 3) = 4x³ − 7x − 3.
4. Multiplier les contenus : 3 × 5 = 15.
5. Développer le produit complet : fg = 60x³ − 105x − 45.

Le résultat est c(fg) = 15. Le contrôle est refaisable directement : le PGCD positif de 60, 0, −105 et −45 vaut 15. Après division par 15, les coefficients 4, 0, −7 et −3 n'ont plus de diviseur commun supérieur à 1 ; la partie primitive obtenue est bien 4x³ − 7x − 3.

En pratique

Avant de factoriser un polynôme à coefficients entiers, on extrait son contenu. Pour f = 6x² + 9x + 3, cette première étape donne 3(2x² + 3x + 1). La recherche des facteurs peut alors porter sur la partie primitive, dont les coefficients ne cachent plus de facteur entier commun.

Pour contrôler un produit sans recalculer immédiatement tous ses coefficients, on multiplie les contenus. Avec c(f) = 3 et c(g) = 5, le contenu de fg doit valoir 15. Si le développement donne un autre PGCD, une erreur de calcul ou un facteur oublié est visible.

Pour étudier l'irréductibilité sur les rationnels, on commence par retirer le contenu entier. On travaille ensuite sur la partie primitive. Le lemme de Gauss autorise alors le passage entre factorisations à coefficients entiers et rationnels ; sans cette réduction, un facteur constant entier peut brouiller le diagnostic.

À ne pas confondre

Contenu et partie primitive. Le contenu est un entier positif ; la partie primitive est un polynôme. Dans f = 6x² + 9x + 3, le contenu vaut 3, tandis que la partie primitive est 2x² + 3x + 1.

Contenu et facteur polynomial. Le contenu ne retient que les diviseurs entiers communs aux coefficients. Le facteur x de 6x³ + 9x² + 3x est polynomial : il ne change pas le fait que le contenu vaut 3.

Polynôme primitif et polynôme irréductible. Un polynôme primitif peut être réductible. Par exemple, 2x² + 3x + 1 est primitif, mais il se factorise en (2x + 1)(x + 1). Le PGCD des coefficients teste la primitivité, pas l'absence de factorisation.

Limites et pièges

Le coefficient nul compte. Dans fg = 60x³ + 0x² − 105x − 45, le coefficient de x² est 0. Il faut le conserver dans la liste des coefficients ; il ne modifie pas leur PGCD, qui reste 15.

Le signe n'appartient pas au contenu. Avec la convention du PGCD positif, f et −f ont le même contenu. Le signe éventuel est porté par la partie primitive. Cette convention évite deux réponses concurrentes, 3 et −3, pour le même facteur commun.

Le polynôme nul est un cas charnière. Tous les entiers divisent ses coefficients nuls, si bien qu'il n'existe pas de plus grand diviseur commun positif au sens ordinaire. On pose généralement son contenu égal à 0 ; il ne faut ni le déclarer primitif ni lui appliquer les énoncés formulés pour des polynômes non nuls.

Le cadre des coefficients est essentiel. Le PGCD décrit ici suppose des coefficients entiers. Pour un polynôme à coefficients rationnels, on commence par chasser les dénominateurs afin d'obtenir un multiple à coefficients entiers, puis on en extrait la partie primitive ; appliquer directement un PGCD aux fractions serait ambigu.