Primitif (polynôme)

Regardons les coefficients 6, −10, 15 et −25 d’un polynôme. Aucun entier supérieur à 1 ne les divise tous : leur plus grand diviseur commun vaut 1. Le polynôme est donc primitif, même si certains couples de coefficients ont un facteur commun.

L’idée est celle d’une fraction déjà simplifiée. Si tous les coefficients partageaient 2, 3 ou un autre facteur, on pourrait le sortir du polynôme. Ici, aucun facteur entier non trivial ne peut être extrait de l’ensemble des coefficients.

Soit un polynôme non nul P à coefficients entiers, dont les coefficients sont notés a₀, a₁, …, a_n. Le contenu de P, noté c(P), est leur plus grand commun diviseur positif, coefficients nuls compris. Le polynôme P est primitif lorsque son contenu vaut 1. Cette condition s’écrit :

Les signes n’influent pas sur le PGCD. Tout polynôme entier non nul se décompose en son contenu positif multiplié par un polynôme primitif ; avec cette convention de signe, cette décomposition est unique. Pour deux polynômes entiers non nuls P et Q, le lemme de Gauss donne c(PQ) = c(P)c(Q). Ainsi, le produit de deux polynômes primitifs reste primitif. Cette propriété transfère les questions de divisibilité entre les polynômes à coefficients entiers et ceux à coefficients rationnels. Elle intervient dans la factorisation, dans le fait que l’anneau des polynômes entiers est factoriel et, par ce biais, dans l’étude des corps.

Un polynôme entier rassemble une variable, ses puissances et une liste finie de coefficients entiers. Pour savoir s’il est primitif, seules les valeurs des coefficients comptent : le nom de la variable, l’ordre d’écriture et le tracé de la courbe ne changent pas le verdict. Les coefficients nuls sont conservés dans la liste, mais ils ne modifient pas le PGCD des coefficients non nuls.

Le contenu rassemble leur facteur entier commun maximal. En divisant chaque coefficient par ce contenu, on obtient la partie primitive. Pour le polynôme conducteur 6X³ − 10X² + 15X − 25, le contenu vaut 1 : sa partie primitive est donc le polynôme lui-même. Le contenu dépend de toute la liste, et la partie primitive dépend du contenu choisi positif. Ces données suffisent à extraire le facteur entier global avant de rechercher les autres facteurs du polynôme.

Considérons les deux polynômes A = 3X − 5 et B = 2X² + 5. Leurs listes complètes de coefficients sont respectivement (3, −5) et (2, 0, 5).

1. Le PGCD de 3 et 5 vaut 1 : A est primitif.
2. Le PGCD de 2, 0 et 5 vaut 1 : B est primitif.
3. Développons leur produit terme à terme :

4. Pour le produit, on calcule successivement PGCD(6, 10) = 2, puis PGCD(2, 15) = 1. Ajouter 25 laisse le PGCD égal à 1.

Le produit 6X³ − 10X² + 15X − 25 est donc primitif, comme l’annonce le lemme de Gauss. Pour contrôler le calcul, on peut redévelopper les deux facteurs et vérifier chacun des quatre coefficients. La figure synthétise ce passage des deux contenus égaux à 1 au contenu du produit.

Avant de factoriser un polynôme entier, on calcule le PGCD de ses coefficients. S’il dépasse 1, on extrait d’abord ce contenu ; sinon, on travaille directement avec un polynôme primitif.

Pour tester une factorisation, on contrôle séparément le facteur entier global et les facteurs primitifs. Cette séparation évite de prendre un facteur commun aux coefficients pour un facteur polynomial plus riche.

Lorsque des coefficients rationnels apparaissent, on peut d’abord chasser leurs dénominateurs, puis extraire le contenu du polynôme entier obtenu. Le lemme de Gauss permet alors de comparer les factorisations sur les rationnels et sur les entiers.

Une primitive d’une fonction appartient au calcul intégral : sa dérivée redonne la fonction de départ. Un polynôme primitif relève ici de l’arithmétique des coefficients. Par exemple, 3X − 5 est primitif parce que PGCD(3, 5) = 1, sans qu’aucune dérivation intervienne.

Un polynôme non constant est irréductible s’il ne se décompose pas en produit de deux polynômes non inversibles dans l’anneau considéré. Le caractère primitif ne porte que sur le PGCD des coefficients. Ainsi, X² − X est primitif, car ses coefficients ont pour PGCD 1, mais il est réductible puisque X² − X = X(X − 1).

Le polynôme nul n’est pas primitif : tous ses coefficients sont nuls et leur PGCD vaut 0 selon la convention usuelle. Il faut donc réserver le critère c(P) = 1 aux polynômes non nuls.

Un coefficient égal à 1 ou −1 garantit immédiatement que le polynôme est primitif. La réciproque est fausse : les coefficients 6, −10, 15 et −25 ont ensemble un PGCD égal à 1 sans contenir 1 ni −1. Il faut calculer le PGCD de toute la liste.

Des coefficients premiers entre eux deux à deux forment bien une liste de PGCD 1, mais cette exigence est trop forte. Dans l’exemple conducteur, 6 et −10 partagent le facteur 2 ; le polynôme reste pourtant primitif parce qu’aucun facteur supérieur à 1 ne divise tous les coefficients.

Le contenu est défini ici pour des coefficients entiers et choisi positif. Dans un anneau plus général, il faut préciser les unités et l’existence d’un PGCD avant de reprendre ce vocabulaire ; la formulation sur les entiers ne se transpose pas automatiquement.

Le PGCD fournit l’outil arithmétique qui mesure le contenu et permet de certifier qu’un polynôme est primitif.

La factorisation replace l’extraction du contenu dans la décomposition complète d’une expression en facteurs.

La fiche Irréductible (polynôme) montre le critère distinct qui empêche une décomposition en facteurs non constants.