AlgèbreNotion · Glossaire
Factorisation
La factorisation consiste à écrire un objet mathématique comme produit de facteurs plus simples. Pour les entiers, c'est la décomposition en facteurs premiers. Pour les polynômes, c'est l'écriture comme produit de polynômes irréductibles sur un corps donné. Pour les matrices, les factorisations LU, QR, SVD sont des outils fondamentaux de l'algèbre linéaire numérique. La factorisation est essentielle pour résoudre des équations, simplifier des expressions et comprendre la structure algébrique des objets.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le passage d'une somme à un produit.
- Factoriser x² + 5x + 6 et vérifier le résultat par développement.
- Distinguer les cadres des entiers, des polynômes et des matrices.
- Repérer l'effet du domaine de coefficients et les limites d'un facteur commun.
En clair
Devant x2 + 5x + 6, on voit une somme de trois termes. La factoriser revient à retrouver les deux multiplications cachées qui l'ont produite. Ici, 2 et 3 ont pour produit 6 et pour somme 5. L'expression devient alors (x + 2)(x + 3).
Cette nouvelle écriture conserve la même valeur pour chaque nombre x. Elle rend cependant visibles les facteurs et facilite notamment la recherche des valeurs qui annulent le produit.
Définition
Factoriser un objet, c'est l'écrire comme un produit dans l'ensemble où l'on travaille. La nature des facteurs dépend donc de cet ensemble. Pour un entier non nul, la décomposition en facteurs premiers est unique à l'ordre des facteurs près, si l'on met à part le signe. Pour un polynôme, le mot « irréductible » signifie qu'il ne se décompose plus en facteurs non constants dans le corps de coefficients choisi. Un même polynôme peut ainsi être irréductible sur un corps et factorisable sur un autre.
Pour le polynôme x2 + 5x + 6, les facteurs cherchés sont x + 2 et x + 3. L'identité s'écrit :
Pour une matrice A, une factorisation remplace A par un produit de matrices ayant une structure utile. Selon les hypothèses et le but du calcul, on emploie notamment LU, QR ou la décomposition en valeurs singulières, notée SVD. Ces écritures servent en algèbre linéaire numérique à résoudre des systèmes, à effectuer des calculs de moindres carrés ou à analyser le rang et le conditionnement. Les dimensions, l'existence et l'unicité des facteurs doivent être précisées pour chaque méthode.
Un exemple, pas à pas
On veut factoriser le polynôme x2 + 5x + 6 sur les nombres réels. Les données sont le coefficient 5 devant x et le terme constant 6. On cherche deux nombres dont la somme vaut 5 et dont le produit vaut 6.
1. Les couples de facteurs positifs de 6 sont 1 et 6, puis 2 et 3.
2. Le premier couple a pour somme 7 ; le second a pour somme 5.
3. On sépare donc 5x en 2x + 3x.
4. On regroupe les termes, puis on met le facteur commun de chaque groupe en évidence.
2. Le premier couple a pour somme 7 ; le second a pour somme 5.
3. On sépare donc 5x en 2x + 3x.
4. On regroupe les termes, puis on met le facteur commun de chaque groupe en évidence.
Le résultat est (x + 2)(x + 3). Le contrôle consiste à développer le produit : x·x + 3x + 2x + 2·3 redonne exactement x2 + 5x + 6. Les trois écritures successives rendent visible le passage de la somme au produit.
En pratique
Pour résoudre x2 + 5x + 6 = 0, la forme factorisée est préférable à la forme développée : un produit est nul lorsqu'au moins un facteur est nul. On lit alors les deux solutions x = −2 et x = −3.
Pour étudier un entier positif, sa décomposition en facteurs premiers révèle immédiatement ses diviseurs. Si le but est seulement d'additionner cet entier, conserver son écriture usuelle évite au contraire une transformation sans bénéfice.
Pour une matrice, le choix dépend du calcul visé. Une factorisation LU convient souvent à la résolution répétée de systèmes carrés, avec pivotement si nécessaire ; QR est adaptée aux moindres carrés, tandis que la SVD renseigne sur le rang et le conditionnement.
À ne pas confondre
Factorisation et développement. Factoriser transforme une somme en produit ; développer transforme un produit en somme. Ainsi, x2 + 5x + 6 devient (x + 2)(x + 3) par factorisation, et le trajet inverse est un développement.
Factorisation et simplification. Simplifier vise une écriture plus maniable, sans imposer une forme en produit. Réduire 2x + 3x à 5x simplifie une somme ; cela ne factorise pas le polynôme x2 + 5x + 6.
Facteur et diviseur. Dans une égalité comme 6 = 2 × 3, 2 et 3 sont des facteurs du produit et aussi des diviseurs de 6. Dans (x + 2)(x + 3), les facteurs sont des polynômes, pas des diviseurs entiers.
Limites et pièges
Le domaine change la réponse. Le polynôme x2 + 1 ne se factorise pas en facteurs du premier degré à coefficients réels, mais il le fait sur les nombres complexes. Il faut donc annoncer le corps de coefficients avant de conclure à l'irréductibilité.
L'ordre ne crée pas une nouvelle décomposition. Écrire 6 = 2 × 3 ou 6 = 3 × 2 donne les mêmes facteurs premiers. Pour les matrices, en revanche, l'ordre des facteurs ne peut généralement pas être inversé : LU et UL ne désignent pas la même contrainte.
Le facteur commun doit multiplier chaque terme. Dans x2 + 5x + 6, x n'est pas un facteur commun, car 6 n'est pas multiple de x. Il faut chercher une autre structure, comme le couple 2 et 3 de l'exemple.
Une écriture factorisée n'est pas toujours unique au sens littéral. Des facteurs inversibles peuvent être déplacés d'un facteur à l'autre. Pour comparer deux réponses, on fixe donc les conventions : ordre, signe, normalisation et domaine de coefficients.
Pour aller plus loin
nombre premier. Cette notion précise les briques irréductibles utilisées dans la factorisation des entiers.
Des polynômes qui font la différence. Cet article prolonge l'étude des structures et transformations polynomiales.
L'inépuisable théorème des nombres premiers. Cet article relie les facteurs premiers à leur répartition parmi les entiers.
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