ArithmétiqueMéthode · Glossaire
décomposition en éléments simples
La décomposition en éléments simples est une méthode d'algèbre qui consiste à écrire une fraction rationnelle comme somme d'une partie polynomiale et d'éléments simples, c'est-à-dire de fractions de la forme a/(x − b)ʲ où a et b sont des scalaires et j un entier naturel non nul. Sur ℂ, les pôles sont tous simples ou d'ordre supérieur, et les éléments simples sont du premier type. Sur ℝ, les facteurs irréductibles du dénominateur peuvent être du second degré, ce qui introduit des éléments simples de seconde espèce. Cette décomposition est fondamentale pour le calcul de primitives de fractions rationnelles et pour l'inversion de la transformée de Laplace.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la forme des éléments simples sur ℝ et sur ℂ.
- Déterminer les coefficients sur un exemple complet.
- Contrôler la décomposition en remettant les termes au même dénominateur.
- Adapter la procédure aux fractions impropres, pôles multiples et facteurs quadratiques réels.
En clair
Imaginez une fraction algébrique dont le dénominateur est un produit, par exemple (x − 2)(x + 1). La décomposition en éléments simples la remplace par plusieurs fractions plus faciles à manipuler, chacune attachée à un seul facteur.
Le geste ressemble au démontage d'un mécanisme : la fraction reste la même, mais ses pièces deviennent visibles. On peut alors intégrer chaque terme séparément ou reconnaître plus directement une transformée de Laplace.
Définition
Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Si le polynôme du numérateur est noté P, celui du dénominateur Q et la variable x, elle s'écrit . La décomposition en éléments simples exprime ce quotient comme la somme d'une partie polynomiale et de fractions liées aux facteurs irréductibles de Q. La partie polynomiale s'obtient d'abord par division euclidienne lorsque le degré de P est supérieur ou égal à celui de Q.
Sur le corps des nombres complexes ℂ, tout facteur de Q est linéaire. Pour un pôle b d'ordre m, les termes associés ont la forme . Sur le corps des nombres réels ℝ, un facteur irréductible peut aussi être un polynôme du second degré sans racine réelle. Les éléments simples de seconde espèce ont alors un numérateur de degré au plus un et une puissance de ce facteur quadratique au dénominateur.
Les coefficients inconnus se déterminent en remettant les termes au même dénominateur, puis en identifiant les coefficients des polynômes obtenus. La décomposition fournit ainsi des termes adaptés au calcul de primitives et à l'inversion de la transformée de Laplace.
Le principe
Pour décomposer une fraction rationnelle :
1. Effectuez la division euclidienne si le degré de P n'est pas inférieur à celui de Q.
2. Factorisez Q en facteurs irréductibles dans ℝ ou dans ℂ.
3. Écrivez les éléments simples correspondant à chaque facteur et à chacune de ses puissances.
4. Remettez la somme au même dénominateur et identifiez les coefficients.
Le calcul s'arrête lorsque tous les coefficients inconnus sont déterminés.
1. Effectuez la division euclidienne si le degré de P n'est pas inférieur à celui de Q.
2. Factorisez Q en facteurs irréductibles dans ℝ ou dans ℂ.
3. Écrivez les éléments simples correspondant à chaque facteur et à chacune de ses puissances.
4. Remettez la somme au même dénominateur et identifiez les coefficients.
Le calcul s'arrête lorsque tous les coefficients inconnus sont déterminés.
Quand l'utiliser
La méthode s'applique à un quotient de polynômes défini sur un corps où le dénominateur peut être factorisé, notamment ℝ ou ℂ. Il faut connaître les facteurs irréductibles du dénominateur et leur multiplicité. Le quotient n'est considéré qu'aux valeurs de x pour lesquelles le dénominateur ne s'annule pas.
Le numérateur de chaque élément simple doit avoir un degré strictement inférieur à celui du facteur irréductible correspondant. Un facteur linéaire reçoit donc une constante ; sur ℝ, un facteur quadratique irréductible peut recevoir un numérateur affine.
Si le numérateur initial a un degré au moins égal à celui du dénominateur, chercher immédiatement une somme de fractions simples bloque l'identification. Il faut d'abord effectuer la division euclidienne, conserver son quotient polynomial, puis décomposer seulement le reste sur le dénominateur.
Un exemple, pas à pas
On veut décomposer la fraction dont le numérateur est 3x et le dénominateur x2 − x − 2. Les données sont donc P(x) = 3x et Q(x) = x2 − x − 2. Le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur : aucune partie polynomiale n'est nécessaire.
1. Le dénominateur se factorise ainsi : . Les valeurs interdites sont donc x = 2 et x = −1.
2. On cherche deux constantes A et B telles que .
3. La remise au même dénominateur donne , soit et . On obtient A = 2 et B = 1.
4. Le résultat est . Le schéma rend visible l'association d'un terme simple à chacun des deux pôles. Pour contrôler le calcul, on additionne les numérateurs 2(x + 1) et x − 2 : leur somme vaut bien 3x.
En pratique
Pour calculer une primitive d'une fraction rationnelle, on décompose d'abord la fraction lorsque son dénominateur factorisé produit des termes dont les primitives sont connues. Dans l'exemple, les deux éléments simples conduisent à des logarithmes. Une substitution directe est préférable si le numérateur est déjà la dérivée du dénominateur, à une constante près.
Pour inverser une transformée de Laplace rationnelle, on sépare les contributions des différents pôles. Chaque élément simple peut alors être rapproché d'une forme d'inversion connue. Une autre technique est nécessaire lorsque l'expression n'est pas rationnelle ou que son dénominateur n'est pas disponible sous une forme factorisable.
Dans un calcul algébrique, la remise au même dénominateur sert de contrôle systématique. Si le numérateur reconstruit diffère du numérateur initial, une erreur s'est glissée dans la factorisation ou dans la résolution des coefficients.
À ne pas confondre
Factorisation du dénominateur. Elle transforme Q(x) en produit de facteurs, tandis que la décomposition en éléments simples transforme P(x)/Q(x) en somme de fractions. Dans l'exemple, (x − 2)(x + 1) est la factorisation ; 2/(x − 2) + 1/(x + 1) est la décomposition.
Division euclidienne des polynômes. Elle produit un quotient polynomial et un reste lorsque le numérateur est de degré suffisant. La décomposition en éléments simples intervient ensuite sur la fraction formée par le reste. Si le degré du numérateur est déjà inférieur, comme pour 3x/(x2 − x − 2), la division n'ajoute aucune partie polynomiale.
Limites et pièges
Fraction impropre. Lorsque le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, une décomposition composée seulement de fractions manque une partie polynomiale. La division euclidienne doit précéder la recherche des éléments simples.
Pôle multiple. Un facteur (x − b) de multiplicité m ne donne pas seulement un terme en 1/(x − b)m. Il faut un terme pour chaque puissance, de 1 à m ; l'absence d'une puissance intermédiaire rend le modèle incomplet.
Facteur quadratique sur ℝ. Un polynôme du second degré sans racine réelle ne se scinde pas en facteurs linéaires réels. Il faut conserver ce facteur et employer des éléments simples de seconde espèce, avec un numérateur affine. Sur ℂ, il se factorise en facteurs linéaires.
Valeur interdite. L'identité obtenue vaut seulement là où la fraction initiale est définie. Dans l'exemple, x = −1 et x = 2 annulent le dénominateur : ni la fraction initiale ni les éléments simples n'y ont de valeur.
Pour aller plus loin
fonction primitive. Reliez chaque élément simple à une primitive élémentaire et contrôlez le résultat par dérivation.
Transformée de Laplace. Situez le rôle des pôles et des fractions simples dans le passage du domaine transformé au domaine d'origine.
Aires et primitives, une liaison intime. Replacez le calcul de primitives dans son interprétation géométrique par les aires.
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