fonction rationnelle

Imaginez une machine qui, pour chaque nombre choisi, calcule deux polynômes puis divise le premier résultat par le second. Elle fonctionne partout où le résultat placé au dénominateur n’est pas nul. Lorsqu’il vaut zéro, la division est impossible : ce nombre doit être retiré du domaine.

Une fonction rationnelle est précisément une fonction obtenue par ce quotient. Son graphe peut alors se séparer en plusieurs branches autour des valeurs interdites.

Une fonction rationnelle est une fonction qui peut s’écrire comme le quotient de deux fonctions polynômes. On note P le polynôme du numérateur et Q celui du dénominateur, avec Q non identiquement nul. Pour une variable notée x, cette écriture est $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=\backslash frac\{P(x)\}\{Q(x)\}$. Les coefficients de P et de Q appartiennent à un même corps K, le plus souvent ℝ ou ℂ.

La fonction est définie exactement aux valeurs de x pour lesquelles Q(x) ≠ 0. Il faut distinguer cette fonction de l’écriture choisie : si P et Q possèdent un facteur commun, une simplification peut retirer une valeur interdite de la nouvelle écriture sans l’ajouter au domaine initial. Après réduction de la fraction, les zéros restants du dénominateur correspondent aux pôles. Sur chaque intervalle réel de son domaine, la fonction est dérivable.

Une décomposition en éléments simples réécrit le quotient comme une somme d’une partie polynomiale et de fractions plus simples. Sur ℝ, elle facilite notamment le calcul d’une primitive sur chacun des intervalles où la fonction est définie.

Quatre éléments structurent une fonction rationnelle. Le numérateur P détermine notamment les zéros de la fonction, sauf lorsqu’un facteur est simplifié. Le dénominateur Q fixe les valeurs à exclure avant toute simplification. Le corps de coefficients K précise les nombres autorisés dans les polynômes, par exemple les réels ou les complexes. Enfin, le domaine rassemble les valeurs de x pour lesquelles Q(x) n’est pas nul.

Le couple formé par P et Q permet de calculer les valeurs de la fonction, mais une même fonction peut posséder plusieurs écritures quotient. Les facteurs communs relient donc numérateur, dénominateur et domaine : leur simplification conserve les valeurs calculées là où l’écriture initiale existe, sans rétablir automatiquement les points exclus. Le tracé, sa couleur ou son échelle ne définissent pas la fonction.

Prenons la fonction f obtenue avec les données suivantes :
• numérateur P(x) = x + 1 ;
• dénominateur Q(x) = x − 2 ;
• coefficients réels ;
• valeur testée pour le contrôle : x = 5.

1. Le dénominateur s’annule pour x = 2. Le domaine est donc ℝ privé de 2, et 2 est un pôle puisque le numérateur y vaut 3, donc ne s’annule pas.

2. La division donne une forme plus lisible : $f(x)=\frac{x+1}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}f(x)=\backslash frac\{x+1\}\{x-2\}=1+\backslash frac\{3\}\{x-2\}$. Elle fait apparaître les asymptotes x = 2 et y = 1. Le graphe calculé à partir de cette égalité montre ses deux branches.

3. À partir de la forme décomposée, on dérive terme à terme : la dérivée de 1 est 0 et celle de $\frac{3}{x-2}\backslash frac\{3\}\{x-2\}$ est $-\frac{3}{(x-2{)}^2}-\backslash frac\{3\}\{(x-2)^2\}$. Ainsi, sur le domaine, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{(x-2{)}^2}f\text{'}(x)=-\backslash frac\{3\}\{(x-2)^2\}$. Pour une primitive, 1 donne x et, puisque la dérivée de $\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }\backslash ln|x-2|$ est $\frac{1}{x-2}\backslash frac\{1\}\{x-2\}$, le terme $\frac{3}{x-2}\backslash frac\{3\}\{x-2\}$ donne $3\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }3\backslash ln|x-2|$. Une primitive est donc $F(x)=x+3\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }F(x)=x+3\backslash ln|x-2|$, séparément sur chacun des intervalles ]−∞, 2[ et ]2, +∞[.

4. Le contrôle en x = 5 donne f(5) = 6/3 = 2. La forme décomposée fournit aussi 1 + 3/3 = 2 : les deux calculs concordent exactement.

Pour tracer une courbe, on commence par résoudre Q(x) = 0 afin de séparer le domaine en intervalles. Une étude polynomiale suffit lorsque Q est constant et non nul ; sinon, les valeurs interdites structurent le tracé.

Pour calculer une primitive, la division polynomiale puis la décomposition en éléments simples remplacent souvent un quotient compact par une somme directement intégrable. Cette voie est préférable à une substitution lorsqu’aucune composition reconnaissable n’apparaît.

Pour simplifier une expression, on factorise P et Q et l’on réduit leurs facteurs communs. Le domaine de l’expression de départ doit toutefois être conservé : la simplification ne rend pas licite une division initialement impossible.

Une fonction polynôme n’a pas de variable au dénominateur dans une écriture réduite. Elle constitue un cas particulier de fonction rationnelle, obtenu lorsque Q est un polynôme constant non nul. Ainsi, x² + 1 est polynomiale et rationnelle, tandis que 1/(x − 2) n’est pas polynomiale.

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes et dépend d’une variable : 3/4 est un nombre rationnel, alors que (x + 1)/(x − 2) définit une fonction.

Une fraction rationnelle désigne l’objet algébrique formel P/Q, tandis qu’une fonction rationnelle associe des valeurs sur un domaine. Deux fractions simplifiables peuvent représenter la même fonction sur un domaine commun, mais leurs expressions initiales peuvent exclure des points différents.

Zéro du dénominateur ne signifie pas toujours pôle. Dans (x² − 1)/(x − 1), le facteur x − 1 se simplifie. Le point x = 1 reste absent du domaine de l’expression initiale, mais la limite y est finie : il s’agit d’un trou prolongeable, pas d’un pôle.

Le domaine se détermine avant la réduction. Remplacer (x² − 1)/(x − 1) par x + 1 sans conserver la condition x ≠ 1 ajoute indûment une valeur. Il faut noter l’exclusion, puis simplifier.

Une primitive n’est pas globale à travers un pôle. Pour l’exemple conducteur, x + 3 ln|x − 2| convient séparément sur ]−∞, 2[ et ]2, +∞[. Aucun intervalle de définition ne traverse x = 2.

Le comportement près d’un pôle dépend du côté d’approche. Pour (x + 1)/(x − 2), la fonction tend vers −∞ à gauche de 2 et vers +∞ à droite. Dire seulement qu’elle « tend vers l’infini » masque cette différence.

L’article asymptote précise comment une droite décrit le comportement d’une courbe près d’une valeur interdite ou à l’infini.

La fiche fonction primitive développe la relation entre une fonction et les fonctions dont elle est la dérivée.

La fiche Irréductible (fraction rationnelle) approfondit la réduction d’un quotient lorsque numérateur et dénominateur n’ont plus de facteur commun.