AnalyseNotion · Glossaire
asymptote
Dans le plan, une asymptote à une branche infinie d'une courbe est une droite telle que la distance entre un point de la branche et cette droite tend vers zéro lorsque ce point part à l'infini le long de la branche. C'est cette définition par limite que l'on utilise dans le cadre de l'enseignement secondaire. Dans un cadre projectif approprié, et sous des hypothèses de régularité, on peut aussi interpréter une asymptote comme une droite tangente à la courbe en un point à l'infini. On distingue les asymptotes verticales, horizontales et obliques selon leur orientation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les asymptotes verticale, horizontale et oblique à partir de limites.
- Vérifier sur f(x) = x + 1/x que y = x est une asymptote oblique.
- Éviter les pièges liés aux intersections, au sens de parcours et aux simples ressemblances graphiques.
En clair
Imaginez la courbe d'une fonction et une droite tracées sur le même repère. En avançant très loin sur la courbe, ou lorsque la variable approche une valeur finie interdite, l'écart avec la droite peut devenir aussi petit que l'on veut. Cette droite est alors une asymptote de la branche observée.
La courbe n'a pas besoin de toucher la droite ni de rester toujours du même côté. Selon la direction suivie, l'asymptote peut être verticale, horizontale ou inclinée, donc oblique.
Définition
Une asymptote est une droite dont une branche infinie d'une courbe se rapproche au sens de la distance. Pour le graphe d'une fonction réelle nommée f, les critères usuels se formulent avec des limites. Le sens de parcours doit être précisé : vers +∞, vers −∞ ou vers une valeur finie par la gauche ou par la droite.
Soit L un nombre réel. La droite horizontale d'équation est asymptote lorsque les valeurs de f tendent vers L quand la variable x tend vers +∞ ou −∞. Soient m un coefficient directeur réel non nul et p une ordonnée à l'origine réelle. La droite oblique d'équation est asymptote lorsque l'écart vertical tend vers zéro : . Pour une droite de pente finie, ce critère équivaut à une distance géométrique tendant vers zéro.
Soit a un nombre réel. La droite verticale d'équation est asymptote si lorsque x approche a par la gauche ou par la droite étudiée. La distance horizontale à la droite, égale à |x − a|, tend alors vers zéro. Dans un cadre projectif approprié, et pour des courbes suffisamment régulières, ces formulations opérationnelles peuvent s'interpréter comme une tangence en un point à l'infini.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie pour tout nombre réel positif x par . Les données sont la courbe de f, la droite dont l'ordonnée y est égale à l'abscisse x, d'équation , et trois valeurs de contrôle : 1, 2 et 5.
1. Pour x = 1, on obtient f(1) = 2 ; l'écart vertical avec la droite vaut 2 − 1 = 1.
2. Pour x = 2, on obtient f(2) = 2,5 ; l'écart vaut 2,5 − 2 = 0,5.
3. Pour x = 5, on obtient f(5) = 5,2 ; l'écart vaut 5,2 − 5 = 0,2.
4. En général, cet écart vaut , donc il tend vers zéro quand x tend vers +∞. La droite y = x est ainsi une asymptote oblique.
2. Pour x = 2, on obtient f(2) = 2,5 ; l'écart vaut 2,5 − 2 = 0,5.
3. Pour x = 5, on obtient f(5) = 5,2 ; l'écart vaut 5,2 − 5 = 0,2.
4. En général, cet écart vaut , donc il tend vers zéro quand x tend vers +∞. La droite y = x est ainsi une asymptote oblique.
Le graphe de cet exemple matérialise le rapprochement progressif entre la courbe rouge et la droite noire. Un contrôle supplémentaire donne, pour x = 10, un écart de 0,1, inférieur aux trois écarts précédents. Par ailleurs, quand x approche 0 par valeurs positives, f(x) tend vers +∞ : la droite x = 0 est aussi une asymptote verticale de cette même courbe.
En pratique
Sur un graphique, une branche qui se resserre autour d'une droite suggère une asymptote. Le dessin guide l'intuition, mais une limite confirme le rapprochement ; elle est préférable dès que l'échelle masque un petit écart persistant.
Pour chercher une asymptote horizontale, on calcule la limite de la fonction vers +∞ et vers −∞. Une limite réelle L conduit à la droite y = L. Si la fonction diverge près d'une valeur finie a, on teste plutôt la droite verticale x = a, séparément de chaque côté.
Quand la courbe d'une fonction f paraît suivre une droite inclinée, on cherche d'abord sa pente m, puis son décalage p. La candidate y = mx + p n'est retenue que si la différence f(x) − (mx + p) tend effectivement vers zéro dans le sens étudié.
À ne pas confondre
Tangente ordinaire. Une tangente décrit localement la direction d'une courbe près d'un point fini. Une asymptote décrit le comportement d'une branche qui part à l'infini ou devient non bornée près d'une valeur interdite. Une droite peut donc être tangente sans être asymptote.
Branche infinie. Toute branche possédant une asymptote est infinie, mais la réciproque est fausse. La courbe de la fonction racine carrée, sur les nombres positifs, s'éloigne indéfiniment sans se rapprocher d'une droite horizontale ou oblique.
Limites et pièges
Une asymptote peut être traversée. Le symptôme trompeur est une intersection visible, parfois répétée, que l'on prend pour une réfutation. Pour une variable réelle non nulle x, la fonction f définie par coupe la droite y = 0 une infinité de fois, mais cette droite reste asymptote quand x tend vers +∞.
Le côté et le sens comptent. Une même droite peut être asymptote vers +∞ sans l'être vers −∞. Près d'une valeur a de la variable x, une divergence d'un seul côté suffit pour la branche correspondante ; il faut donc calculer les limites à gauche et à droite séparément, sans exiger qu'elles aient le même signe.
Une ressemblance graphique ne suffit pas. Pour une candidate y = mx + p, l'écart doit tendre vers 0, et non vers une petite constante non nulle. Dans l'exemple conducteur, les écarts 1, 0,5 puis 0,2 diminuent, et la formule 1/x établit leur limite nulle.
Une pente limite ne garantit pas une asymptote. Pour la fonction racine carrée sur les nombres positifs, la pente visuelle s'aplatit lorsque l'argument grandit, mais la hauteur ne tend vers aucun réel. Après avoir déterminé une pente m, il faut étudier f(x) − mx : si cette différence admet une limite réelle p, la droite y = mx + p est asymptote ; sinon, aucune droite de pente m n'est obtenue.
Pour aller plus loin
branche infinie — Situer l'asymptote parmi les comportements possibles d'une courbe qui quitte toute région bornée.
Tangente ou asymptote ? — Comparer le contact local en un point et le rapprochement d'une courbe à l'infini.
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