AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction homographique
Une fonction homographique est une fonction de la forme F(x) = (ax + b) / (cx + d), où a, b, c, d appartiennent à un corps commutatif 𝕂 et vérifient ad − bc ≠ 0 (condition assurant que F est non constante et, lorsque c ≠ 0, bijective de 𝕂 \ {−d/c} vers 𝕂 \ {a/c}). Sur ℝ, il s'agit du quotient de deux polynômes de degré au plus un. Lorsque c ≠ 0, F est définie sur ℝ \ {−d/c} et admet comme asymptotes la droite verticale x = −d/c et la droite horizontale y = a/c. Sa courbe représentative est alors une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont les axes du repère après translation. Lorsque c = 0, F est une fonction affine définie sur tout ℝ. Les prolongements de ces transformations à la droite projective constituent un groupe (le groupe projectif linéaire PGL(2, 𝕂)) pour la composition, et jouent un rôle fondamental en géométrie projective et en analyse complexe (transformations de Möbius pour 𝕂 = ℂ).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les coefficients et la condition ad − bc ≠ 0.
- Déterminer le domaine, les deux asymptotes et le centre de l’hyperbole lorsque c ≠ 0.
- Refaire le calcul complet pour f(x) = (2x + 1)/(x − 1).
- Reconnaître les cas dégénérés et distinguer fonction affine, fraction rationnelle et fonction inverse.
En clair
Imaginez une courbe qui s’approche de deux droites sans jamais les rejoindre. Avec la fonction f qui associe à x le quotient (2x + 1) / (x − 1), la valeur x = 1 est interdite, car elle annulerait le dénominateur. La courbe se sépare alors en deux branches autour de la droite verticale x = 1.
Loin de cette coupure, les valeurs de f se rapprochent de 2. La droite horizontale y = 2 guide donc l’autre direction de la courbe. Ce couple de droites donne à la fonction homographique sa silhouette caractéristique d’hyperbole.
Définition
Soient quatre coefficients a, b, c et d appartenant à un corps commutatif 𝕂. Une fonction homographique associe à un élément x le quotient , sous la condition ad − bc ≠ 0. Cette condition écarte les quotients constants. Les valeurs de x qui annulent le dénominateur sont exclues du domaine.
Lorsque c ≠ 0, la valeur −d/c est interdite et la valeur a/c n’est jamais atteinte. La fonction établit alors une bijection de 𝕂 \ {−d/c} vers 𝕂 \ {a/c}. Sur les réels, sa courbe a pour asymptotes x = −d/c et y = a/c. Après une translation qui place leur intersection à l’origine, son équation prend la forme d’une hyperbole équilatère.
Si c = 0, la condition ad − bc ≠ 0 impose a ≠ 0 et d ≠ 0 : la fonction est alors affine, définie sur tout 𝕂. Sur la droite projective, ces transformations forment pour la composition le groupe projectif linéaire PGL(2, 𝕂). Elles jouent ainsi un rôle central en géométrie projective. Sur le corps des nombres complexes, leur prolongement au point à l’infini est appelé transformation de Möbius.
De quoi c'est fait
Une fonction homographique réunit quatre coefficients. Les coefficients a et b forment le numérateur ax + b ; les coefficients c et d forment le dénominateur cx + d. Le déterminant ad − bc contrôle l’ensemble : s’il est nul, le quotient se réduit à une constante là où il est défini.
Quand c ≠ 0, c et d fixent la coupure x = −d/c, tandis que a et c fixent le niveau y = a/c. Les quatre coefficients déterminent aussi l’écart à ce niveau : . Cette écriture suffit à retrouver les deux asymptotes et le centre de la courbe, leur point d’intersection. Multiplier simultanément a, b, c et d par un même coefficient non nul ne change pas la fonction.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie par . Ses coefficients sont a = 2, b = 1, c = 1 et d = −1.
1. Le déterminant vaut ad − bc = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. Il n’est pas nul : le quotient n’est pas constant.
2. Le dénominateur s’annule pour x = 1. Le domaine est donc ℝ \ {1}.
3. La division donne . Les asymptotes sont x = 1 et y = 2 ; leur intersection C(1 ; 2) est le centre de l’hyperbole.
4. Pour x = 0, on obtient f(0) = −1. Pour x = 2, on obtient f(2) = 5.
2. Le dénominateur s’annule pour x = 1. Le domaine est donc ℝ \ {1}.
3. La division donne . Les asymptotes sont x = 1 et y = 2 ; leur intersection C(1 ; 2) est le centre de l’hyperbole.
4. Pour x = 0, on obtient f(0) = −1. Pour x = 2, on obtient f(2) = 5.
Le tracé rend visibles les deux branches séparées par x = 1 et leur rapprochement de y = 2. Pour contrôler le calcul, les points (0 ; −1) et (2 ; 5) vérifient bien l’expression initiale. De plus, la valeur 2 est impossible : l’égalité 2 + 3/(x − 1) = 2 demanderait 3/(x − 1) = 0.
En pratique
Pour tracer rapidement f(x) = (2x + 1)/(x − 1), on commence par les droites x = 1 et y = 2, puis on place quelques points de part et d’autre de x = 1. Cette méthode est préférable à une longue table de valeurs lorsque le but est de faire apparaître la structure de l’hyperbole.
Pour résoudre f(x) = y, on isole x. Ici, x = (y + 1)/(y − 2), avec y ≠ 2. Cette expression fournit la fonction réciproque et confirme que chaque valeur réelle autre que 2 possède un unique antécédent.
Pour étudier les variations, on peut dériver plutôt que multiplier des inégalités par un dénominateur de signe changeant. Ici, f′(x) = −3/(x − 1)2 est négative : chaque branche est strictement décroissante.
À ne pas confondre
Fonction affine. Une fonction affine s’écrit mx + p et ne possède aucun x interdit. Une fonction homographique avec c ≠ 0 comporte un dénominateur dépendant de x. Ainsi, (2x + 1)/(x − 1) est homographique au sens non affine, tandis que 2x + 1 est affine.
Fraction rationnelle quelconque. Une fraction rationnelle peut faire intervenir des polynômes de degrés supérieurs. Le quotient (x2 + 1)/(x − 1) est une fraction rationnelle, mais pas une fonction homographique, car son numérateur n’est pas de degré au plus un.
Fonction inverse. La fonction inverse x ↦ 1/x est un cas particulier de fonction homographique. Le nom « fonction réciproque » désigne au contraire l’application qui défait une bijection ; pour notre exemple, elle associe à y le nombre (y + 1)/(y − 2).
Limites et pièges
Le dénominateur s’annule. Pour f(x) = (2x + 1)/(x − 1), remplacer x par 1 conduit à une division par zéro. Il faut exclure 1 du domaine et étudier séparément les deux intervalles situés de part et d’autre.
Le déterminant est nul. Si ad − bc = 0, numérateur et dénominateur sont proportionnels dans le cas usuel c ≠ 0. Le quotient est constant partout où il est défini : ce n’est pas une transformation homographique non dégénérée.
Le coefficient c est nul. La formule −d/c n’a alors aucun sens. La fonction est affine, son domaine est tout ℝ et sa courbe n’est pas une hyperbole. Il faut revenir à l’écriture (ax + b)/d.
La bijection exige le bon ensemble d’arrivée. Lorsque c ≠ 0, la valeur a/c manque à l’image. La fonction est bijective de 𝕂 \ {−d/c} vers 𝕂 \ {a/c}, ou de la droite projective sur elle-même après ajout du point à l’infini ; elle ne l’est pas vers 𝕂 tout entier.
Pour aller plus loin
asymptote — Pour préciser comment une droite décrit le comportement d’une courbe près d’une valeur interdite ou à l’infini.
bijection — Pour relier existence et unicité des antécédents à la construction de la fonction réciproque.
Tangente ou asymptote ? — Pour distinguer deux droites associées à une courbe selon leur rôle local ou leur comportement limite.
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