asymptote oblique

Sur un graphique, regardez une branche de courbe qui part très loin vers la droite. Elle peut se rapprocher d’une droite inclinée, au point que leur écart devienne aussi petit que l’on veut. Cette droite est une asymptote oblique.

Dans l’exemple suivi ici, l’écart est l’inverse de l’abscisse : il vaut 1 quand l’abscisse vaut 1, puis 1/4 quand elle vaut 4. La courbe se resserre ainsi autour de la droite, sans que l’asymptote décrive son comportement près de l’origine.

Soit une fonction f définie pour des nombres x arbitrairement grands, et soit C_f sa courbe représentative. On note a la pente d’une droite et b son ordonnée à l’origine. La droite d’équation $y=ax+by=ax+b$ est une asymptote oblique à C_f en plus l’infini lorsque a est non nul et que l’écart vertical tend vers zéro : ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(f(x)-(ax+b))=0\backslash lim\_\{x\backslash to+\backslash infty\}(f(x)-(ax+b))=0$.

Pour déterminer cette droite, on cherche d’abord une limite finie pour le quotient de f(x) par x. Cette limite fournit a. On cherche ensuite une limite finie pour la différence entre f(x) et ax ; elle fournit b : $a={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{f(x)}{x},b={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(f(x)-ax)a=\backslash lim\_\{x\backslash to+\backslash infty\}\backslash frac\{f(x)\}\{x\},\backslash qquad\; b=\backslash lim\_\{x\backslash to+\backslash infty\}(f(x)-ax)$. Les deux limites sont nécessaires, et la première doit être non nulle.

Le même critère s’applique en moins l’infini en remplaçant la direction de la limite. Une courbe peut avoir des asymptotes différentes dans les deux directions. Si a vaut zéro, la droite obtenue est horizontale et non oblique.

On étudie la branche située à droite de la courbe d’une fonction f. Le calcul doit identifier une droite, puis contrôler que la courbe s’en rapproche effectivement.

Données.
La fonction est définie, pour x non nul, par $f(x)=2x+1+\frac{1}{x}f(x)=2x+1+\backslash frac\{1\}\{x\}$.
La direction étudiée est celle où x tend vers plus l’infini.
Le coefficient a sera la limite du quotient de f(x) par x.
Le coefficient b sera la limite de la différence f(x) − ax.

1. Simplifier le quotient. La division de chaque terme par x donne $\frac{f(x)}{x}=2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\backslash frac\{f(x)\}\{x\}=2+\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{x^2\}$.

2. Trouver la pente. Les termes 1/x et 1/x² tendent vers zéro. Le quotient tend donc vers 2, ainsi a = 2.

3. Isoler le terme constant. En retranchant 2x à la fonction, on obtient $f(x)-2x=1+\frac{1}{x}f(x)-2x=1+\backslash frac\{1\}\{x\}$. Cette différence tend vers 1, donc b = 1.

4. Conclure et contrôler. L’asymptote est la droite y = 2x + 1. L’écart vertical vaut exactement |1/x| : il est égal à 0,1 pour x = 10, puis à 0,01 pour x = 100. Il tend bien vers zéro.

Dans une étude de fonction, une direction visiblement inclinée suggère de calculer le quotient f(x)/x, puis la différence f(x) − ax. Si le quotient tend vers zéro, il faut plutôt tester une asymptote horizontale.

Pour une fonction rationnelle, une division euclidienne peut faire apparaître directement une partie affine ax + b et un reste qui tend vers zéro. Lorsque cette décomposition n’est pas disponible, les deux limites fournissent le même diagnostic.

Pour tracer la courbe, on dessine l’asymptote seulement après avoir établi les limites. Le signe de f(x) − (ax + b) indique ensuite si la branche se trouve au-dessus ou au-dessous. Des valeurs numériques peuvent guider le dessin, mais elles ne remplacent pas la preuve par la limite.

Enfin, les directions plus l’infini et moins l’infini se traitent séparément. Une seule étude suffit uniquement lorsque les deux limites ont été vérifiées ou qu’une propriété de la fonction permet de les relier.

Asymptote horizontale. Sa pente vaut zéro, tandis que celle d’une asymptote oblique est non nulle. Ainsi, la fonction 3 + 1/x admet y = 3 comme asymptote horizontale à l’infini.

Asymptote verticale. Elle a une équation de la forme x = c et concerne l’approche d’une abscisse finie c. Par exemple, la courbe de 1/x a une asymptote verticale x = 0, car ses valeurs deviennent non bornées au voisinage de zéro.

Tangente. Une tangente décrit la direction locale d’une courbe en un point fini ; une asymptote horizontale ou oblique décrit une branche à l’infini, tandis qu’une asymptote verticale concerne l’approche d’une abscisse finie. Pour f(x) = 2x + 1 + 1/x, la droite y = 2x + 1 est asymptote, mais elle ne rencontre la courbe en aucun point où f est définie.

Pente nulle. Si la limite de f(x)/x vaut 0, la direction n’est pas oblique. Il faut rechercher une asymptote horizontale en étudiant directement une éventuelle limite finie de f(x).

Seconde limite divergente. Une pente candidate ne suffit pas. Pour f(x) = 2x + √x lorsque x tend vers plus l’infini, le quotient f(x)/x tend vers 2, mais f(x) − 2x = √x diverge. Aucune droite y = 2x + b n’est alors asymptote.

Deux directions distinctes. Un résultat obtenu en plus l’infini ne vaut pas automatiquement en moins l’infini. Pour f(x) = 2x + x/√(x² + 1), les asymptotes sont y = 2x + 1 à droite et y = 2x − 1 à gauche.

Croisement possible. Une asymptote n’est pas une barrière. La fonction f(x) = 2x + 1 + (x − 1)/x² admet y = 2x + 1 comme asymptote en plus l’infini et sa courbe la coupe pour x = 1. Le critère décisif reste l’écart qui tend vers zéro.

asymptote — Situer le cas oblique parmi les différentes manières dont une courbe peut se rapprocher d’une droite.

fonction affine — Relier les coefficients a et b à la pente et à l’ordonnée à l’origine de la droite.

Courbe représentative — Revoir comment les valeurs d’une fonction deviennent des points et une branche dans un repère.

infini — Préciser le sens d’une limite lorsque l’abscisse croît sans borne.