AnalyseNotion · Glossaire
fonctions équivalentes
La notion de fonctions équivalentes n'a de sens qu'au voisinage d'un point ou au voisinage de l'infini. Lorsque f et g sont définies dans un voisinage ponctué d'un point a et que g ne s'y annule pas, elles sont dites équivalentes au voisinage de a, noté , si et seulement si , ce qui signifie que f et g ont le même comportement local en a, à un facteur tendant vers 1 près. De même, lorsqu'elles sont définies pour x assez grand et que g ne s'y annule pas, f et g sont équivalentes au voisinage de l'infini, noté , si et seulement si . La relation d'équivalence est une relation d'équivalence au sens strict : elle est réflexive, symétrique et transitive. L'équivalence de fonctions est un outil central dans l'étude des développements asymptotiques, des comportements limites et du calcul de limites de formes indéterminées. Il est important de noter que au voisinage de a n'implique pas que : les équivalents permettent de comparer les ordres de grandeur, mais pas les différences.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'équivalence par une limite de quotient égale à 1.
- Vérifier le critère pas à pas sur 2x + 1 et 2x.
- Distinguer l'équivalence de l'égalité et d'une différence tendant vers zéro.
- Éviter les remplacements dangereux dans une soustraction.
En clair
Imaginez deux compteurs qui affichent des nombres de plus en plus grands. L'un donne 2x, l'autre 2x + 1. Leur écart reste égal à 1, mais cet écart devient négligeable devant leur taille. Leur quotient se rapproche de 1.
C'est l'idée des fonctions équivalentes : près d'un point précis, ou lorsque la variable part vers l'infini, elles ont la même échelle locale. Elles ne sont pas forcément égales et leur différence ne doit pas forcément disparaître.
Définition
Soient deux fonctions, nommées f et g, et une variable réelle nommée x. On étudie leur comportement lorsque x s'approche d'un point a, ou lorsque x tend vers l'infini. Les fonctions f et g sont équivalentes dans ce voisinage lorsque leur quotient tend vers 1.
Au voisinage du point a, ce critère s'écrit . On note alors . Le même critère s'applique au voisinage de l'infini, en remplaçant a par la direction considérée vers l'infini. Lorsque x tend vers a, le quotient doit être défini pour les valeurs suffisamment proches de a, éventuellement sauf au point a lui-même. Lorsque x tend vers l'infini, il doit être défini pour tout x suffisamment grand ou suffisamment petit, selon la direction considérée.
Sur l'ensemble des germes représentés par des fonctions qui ne s'annulent pas dans le voisinage considéré, éventuellement privé du point limite, cette relation est réflexive, symétrique et transitive. Elle compare un comportement local et un ordre de grandeur, non une égalité terme à terme. En particulier, l'équivalence n'impose pas que la différence tende vers 0. Elle intervient notamment dans les développements asymptotiques et le calcul de limites présentant une forme indéterminée.
Un exemple, pas à pas
Comparons deux fonctions lorsque leur variable devient très grande. La première garde un terme constant que la seconde ne possède pas. Le calcul du quotient dira si ce terme change leur comportement dominant.
Données. La variable réelle x tend vers +∞.
La première fonction est définie par .
La seconde fonction est définie par .
La première fonction est définie par .
La seconde fonction est définie par .
1. Formons leur quotient : .
2. Séparons les termes : .
3. Lorsque x tend vers +∞, le terme tend vers 0.
4. Le quotient tend donc vers 1.
2. Séparons les termes : .
3. Lorsque x tend vers +∞, le terme tend vers 0.
4. Le quotient tend donc vers 1.
On conclut que . Un contrôle direct confirme le mécanisme : pour x = 100, le quotient vaut 201/200 = 1,005. Pourtant, la différence vaut toujours 1. La courbe du quotient rend visible son rapprochement progressif de la valeur 1.
En pratique
Pour calculer une limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer une fonction par un équivalent plus simple lorsque le facteur relatif tend vers 1, à condition que les expressions et les quotients utilisés soient définis dans le voisinage ponctué considéré, notamment avec des dénominateurs non nuls. Si une compensation entre termes intervient ou si une forme indéterminée subsiste après le remplacement, une vérification supplémentaire est nécessaire. Si ces vérifications manquent, un calcul direct ou un encadrement est préférable.
Dans un développement asymptotique, l'équivalent isole le terme qui fixe l'échelle principale. Si l'on a besoin de mesurer l'erreur ou de conserver plusieurs termes, un développement plus précis est nécessaire.
Pour comparer deux croissances, on forme leur quotient. Une limite égale à 1 signale l'équivalence ; une autre limite appelle une comparaison différente plutôt qu'une conclusion forcée.
À ne pas confondre
Égalité de fonctions. Deux fonctions égales prennent la même valeur en chaque point de leur domaine. Deux fonctions équivalentes peuvent différer : 2x + 1 et 2x sont équivalentes quand x tend vers +∞, mais ne sont jamais égales.
Différence tendant vers zéro. Ce critère porte sur l'écart absolu, tandis que l'équivalence porte sur le quotient. Pour 2x + 1 et 2x, la différence vaut 1, mais le quotient tend vers 1 : seul le second critère est satisfait.
Limites et pièges
Quotient non défini. Si la fonction placée au dénominateur s'annule arbitrairement près de la limite, le quotient peut ne pas être défini dans tout voisinage ponctué. Il faut alors revenir au domaine exact ou choisir une formulation locale adaptée.
Soustraction risquée. Remplacer séparément des termes équivalents dans une différence peut effacer l'information dominante par compensation. Il faut étudier la différence elle-même ou conserver un développement asymptotique assez précis.
Confusion entre erreur relative et erreur absolue. Pour 2x + 1 et 2x, l'erreur relative vaut et tend vers 0, alors que l'erreur absolue reste égale à 1. Le quotient, et non la différence, tranche l'équivalence.
Pour aller plus loin
développement asymptotique — Situer l'équivalent comme premier niveau d'une description plus précise du comportement local.
forme indéterminée — Reconnaître les limites où un remplacement par un équivalent peut simplifier le calcul.
Les équivalents, un outil pour le calcul des limites — Voir l'outil mis en œuvre dans des calculs de limites.
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