AnalyseNotion · Glossaire
Croissance comparée
L'étude des croissances comparées consiste à comparer les vitesses de croissance (ou de décroissance) de différentes fonctions au voisinage de l'infini ou d'un point. Les résultats classiques établissent notamment qu'à l'infini, les fonctions puissances xa avec a > 0 croissent moins vite que les fonctions exponentielles bx avec b > 1, et que les fonctions logarithmiques croissent moins vite que les fonctions puissances. Ces comparaisons sont formalisées par les relations de Landau (grand O, petit o) et les équivalences asymptotiques. Elles sont fondamentales pour le calcul de limites et l'analyse d'algorithmes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer logarithmes, puissances et exponentielles dans leur hiérarchie à l'infini.
- Distinguer les critères du petit o, du grand O et de l'équivalence asymptotique.
- Vérifier sur x² et 2ˣ qu'une égalité ponctuelle ne détermine pas la domination asymptotique.
- Éviter les remplacements d'équivalents qui masquent une annulation.
En clair
Deux compteurs affichent x2 et 2x. Pour x = 4, ils indiquent tous les deux 16. Pour x = 8, le premier vaut 64 et le second 256. Une égalité ponctuelle ne révèle donc pas lequel finira par prendre l'avantage.
La croissance comparée observe ce qui arrive lorsque x s'approche d'une valeur ou devient arbitrairement grand. Elle établit une hiérarchie durable : à l'infini, un logarithme est dépassé par toute puissance positive, elle-même dépassée par une exponentielle de base supérieure à 1.
Définition
La croissance comparée étudie le comportement relatif de deux fonctions près d'un point ou à l'infini. Soient f et g deux fonctions, avec g non nulle dans le voisinage considéré. Leur quotient indique si l'une devient négligeable devant l'autre, reste du même ordre ou lui est asymptotiquement égale.
À l'infini, on écrit , lu « f est un petit o de g », lorsque . On écrit lorsque ce quotient tend vers 1. Enfin, , lu « f est un grand O de g », signifie qu'il existe une constante C positive et un seuil x0 tels que pour tout x au-delà de x0.
Pour tout exposant réel a strictement positif et toute base b supérieure à 1, la hiérarchie classique à l'infini est . Près d'un point fini, les mêmes définitions s'emploient en remplaçant la limite à l'infini par la limite vers ce point.
Un exemple, pas à pas
Comparons la puissance f(x) = x2 et l'exponentielle g(x) = 2x lorsque x devient grand. Les données de contrôle seront x = 4, x = 8 et x = 16.
1. On forme le quotient de la puissance par l'exponentielle : .
2. Pour x = 4, le quotient vaut . Les deux fonctions sont égales à cet endroit.
3. Pour x = 8, on obtient . Pour x = 16, .
4. Le résultat général des croissances comparées donne . Ainsi, x2 est un petit o de 2x.
Le contrôle se refait en divisant chaque valeur de x2 par la valeur correspondante de 2x. Le quotient passe de 1 à 1/4, puis à 1/256. La figure rend visible cette chute après les premières égalités.
En pratique
Pour calculer une limite, comparez les termes qui se disputent la croissance. Dans une fraction contenant une puissance et une exponentielle, diviser par le terme dominant fait souvent apparaître un quotient qui tend vers zéro. Un développement limité reste préférable lorsque plusieurs termes dominants s'annulent.
Pour estimer le coût d'un algorithme, le grand O fournit une borne asymptotique. Il convient lorsque l'on cherche un plafond de croissance, tandis que le petit o convient pour prouver qu'un coût devient négligeable devant un autre.
Pour simplifier une expression près d'un point, un équivalent remplace un facteur par une forme plus maniable. Ce remplacement est sûr dans un produit et, pour un quotient, lorsque les dénominateurs en jeu ne s'annulent pas dans le voisinage considéré ; dans une différence, il faut d'abord vérifier qu'il ne masque pas une annulation.
À ne pas confondre
Grand O et petit o. Le grand O affirme seulement que la valeur absolue d'une fonction reste bornée par un multiple positif de la valeur absolue de l'autre. Le petit o exige que leur quotient tende vers zéro. Ainsi, x2 = O(x2), mais x2 n'est pas un petit o de x2.
Équivalence asymptotique et égalité. Deux fonctions équivalentes ont un quotient qui tend vers 1, sans être égales. Par exemple, x + 1 est équivalent à x à l'infini, bien que les deux valeurs diffèrent toujours de 1.
Croissance asymptotique et comparaison ponctuelle. Une valeur isolée ne décide pas du comportement final. Les fonctions x2 et 2x valent toutes deux 16 pour x = 4, mais leur quotient tend ensuite vers zéro.
Limites et pièges
Un quotient peut être indisponible. Si la fonction placée au dénominateur s'annule arbitrairement près du point étudié, le critère par quotient ne s'applique pas directement. Pour les relations o et O, il faut alors restreindre le voisinage ou revenir aux définitions par majoration ; établir une équivalence demande une analyse spécifique.
Les premiers croisements sont trompeurs. Pour x = 4, x2 et 2x valent 16. À x = 16, leur quotient vaut déjà 1/256. Il faut examiner une limite, pas extrapoler depuis une égalité locale.
Le petit o n'est pas symétrique. Si f est un petit o de g, g ne peut pas être un petit o de f dans le même voisinage lorsque les quotients sont définis. Il faut inverser la lecture : g domine f.
Le voisinage doit être nommé. Une relation vraie lorsque x tend vers +∞ peut être fausse près de zéro ou d'un point fini. Il faut toujours préciser la limite étudiée avant d'utiliser une relation de Landau ou un équivalent.
Pour aller plus loin
La fiche notation de Landau précise le langage symbolique utilisé pour exprimer domination, négligeabilité et ordre de grandeur asymptotique.
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