AnalyseNotion · Glossaire
notation de Landau
La notation de Landau fournit des symboles pour comparer le comportement asymptotique de fonctions numeriques au voisinage d'un point. Le petit o signifie la negligeabilite : f(x) = o(g(x)) signifie que f/g tend vers 0. Le grand O, introduit par Paul Bachmann, exprime le caractere domine : f(x) = O(g(x)) signifie que |f/g| est bornee. Ces notations sont fondamentales en analyse, theorie des nombres et algorithmique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Différencier le critère de domination du grand O et la négligeabilité du petit o.
- Tester les deux relations à partir du quotient de deux fonctions.
- Vérifier l'exemple de x² comparé à x³ lorsque x tend vers +∞.
- Éviter les erreurs liées au point d'approche, aux zéros du dénominateur et au seuil de validité.
En clair
Comparons x2 et x3 quand x prend des valeurs de plus en plus grandes. Leur quotient vaut 1/10 pour x = 10, puis 1/100 pour x = 100. La part de x2 dans x3 devient donc minuscule.
La notation de Landau résume ce type de comparaison sans décrire chaque valeur. Le grand O affirme qu'une fonction reste dominée par une autre, à un facteur constant près. Le petit o dit davantage : leur quotient tend vers zéro.
Définition
La notation de Landau compare deux fonctions numériques au voisinage d'un point fixé. Appelons f la fonction étudiée et g la fonction de référence. Pour former leur quotient, la fonction g doit être non nulle dans un voisinage suffisamment proche du point considéré, sauf éventuellement au point lui-même.
On écrit lorsque le quotient de f par g tend vers zéro : . Le petit o exprime ainsi la négligeabilité de f devant g au voisinage du point a.
Le grand O, introduit par Paul Bachmann, exprime une domination. On écrit lorsque la valeur absolue du quotient reste bornée près du point : il existe une constante positive M telle que pour x suffisamment proche du point considéré. Le point et le sens d'approche font partie de l'énoncé. Ces notations sont fondamentales en analyse, en théorie des nombres et en algorithmique.
Un exemple, pas à pas
Comparons la fonction f définie par f(x) = x2 à la fonction g définie par g(x) = x3, lorsque x tend vers +∞. Les données de contrôle sont x = 10, x = 100 et x = 1 000.
1. Formons le quotient : pour x positif.
2. Aux trois valeurs annoncées, le quotient vaut successivement 0,1 ; 0,01 ; puis 0,001. La figure représente ces trois résultats avec une longueur proportionnelle au quotient.
3. Pour x ≥ 1, le quotient est compris entre 0 et 1. Il est donc borné, ce qui établit lorsque x tend vers +∞.
4. Comme 1/x tend vers 0, on obtient aussi . Le contrôle numérique confirme le mécanisme : quand x est multiplié par 10, le quotient est divisé par 10.
En pratique
En analyse, on compare les termes d'une expression près du point étudié. Si leur quotient tend vers zéro, le petit o signale le terme négligeable ; si le quotient reste seulement borné, le grand O est l'affirmation adaptée.
En algorithmique, la notation sert à comparer des fonctions qui décrivent une croissance. On emploie une égalité exacte lorsqu'on veut conserver chaque valeur ; on choisit le grand O lorsque seule une domination asymptotique est pertinente.
En théorie des nombres, elle condense des estimations entre fonctions numériques. Le choix se fait encore par un test observable : quotient borné pour le grand O, quotient convergeant vers zéro pour le petit o.
À ne pas confondre
Grand O et petit o. Le grand O demande que la valeur absolue du quotient reste bornée ; le petit o exige qu'il tende vers zéro. Ainsi, pour x tendant vers +∞, x2 est à la fois un grand O et un petit o de x3, tandis que x3 est un grand O de x3 mais pas un petit o de lui-même.
Relation asymptotique et égalité de valeurs. Écrire ne signifie pas que f(x) et g(x) sont égaux. Le test consiste à comparer leurs valeurs : pour x = 10, x2 vaut 100 et x3 vaut 1 000, malgré la relation en grand O.
Limites et pièges
Point d'approche omis. Une même comparaison peut changer avec le voisinage étudié. Il faut donc préciser, comme dans l'exemple, que x tend vers +∞ au lieu d'écrire seulement une relation de Landau.
Quotient non défini. Le critère par quotient exige que la fonction de référence g ne s'annule pas dans le voisinage où l'on compare les fonctions. Si des zéros s'accumulent près du point, ce quotient ne fournit pas directement le test annoncé.
Borne prise pour une limite. Le grand O exige seulement une borne sur la valeur absolue du quotient. Il n'affirme ni que ce quotient tend vers zéro, ni même qu'il possède une limite. Pour conclure à un petit o, il faut vérifier séparément la limite nulle.
Seuil oublié. La domination est locale : elle doit être vraie assez près du point considéré, et non nécessairement partout. Dans l'exemple à +∞, la borne 1 sur le quotient 1/x est garantie à partir du seuil x = 1.
Pour aller plus loin
Le petit o entraîne le grand O au même point d'approche : si le quotient tend vers zéro, il est nécessairement borné dans un voisinage assez proche de ce point. La réciproque est fausse ; le quotient d'une fonction par elle-même vaut 1 partout où il est défini, donc il est borné sans tendre vers zéro.
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