Landau Edmund

En 1903, Edmund Landau propose une démonstration du théorème de la distribution des nombres premiers plus simple et plus générale que les précédentes. Son terrain est la théorie analytique des nombres : il étudie les nombres entiers avec des outils d'analyse.

Son nom reste aussi attaché à une écriture très pratique. Les notations O, o, Ω et Θ comparent la vitesse de croissance de deux fonctions, sans devoir suivre chaque valeur. Elles décrivent ce qui domine, devient négligeable ou reste du même ordre lorsque la variable grandit ou approche un point.

Edmund Georg Hermann Landau (1877-1938) est un mathématicien allemand, formé à Berlin. Il obtient en 1899 un doctorat en théorie des nombres sous la direction de Frobenius, puis soutient en 1901 une habilitation consacrée aux séries de Dirichlet. Après avoir enseigné à l'Université de Berlin, il rejoint celle de Göttingen et contribue, aux côtés de Hilbert, au rayonnement mathématique de ce centre. Les lois antisémites nazies le contraignent à prendre sa retraite en 1934.

Ses recherches relèvent surtout de la théorie analytique des nombres. En 1903, il propose une démonstration du théorème de la distribution des nombres premiers plus simple et plus générale que celles alors connues. Il contribue également à l'analyse complexe.

Landau est aussi associé, avec Hardy et Littlewood, aux notations asymptotiques O, o, Ω et Θ. Pour deux fonctions f et g, écrire $f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))$ signifie, dans la convention usuelle et lorsque n devient grand, que la valeur absolue de f reste majorée par une constante positive multipliée par celle de g, à partir d'un certain rang. Écrire $f(n)=o(g(n))f(n)=o(g(n))$ exprime une comparaison plus forte : le quotient de f par g tend vers zéro, lorsque ce quotient est défini. Ces notations décrivent un comportement asymptotique, non une égalité valeur par valeur.

On veut comparer la fonction f à la fonction g lorsque l'entier positif n grandit.
Données : $f(n)=3n^2+5nf(n)=3n^2+5n$ ; $g(n)=n^{2}g(n)=n^2$ ; n est au moins égal à 1.

1. On divise f par g, qui ne s'annule pas pour un entier n positif.

2. Comme n est au moins égal à 1, le quotient est au plus égal à 8. On obtient donc $\mathrm{\mid }f(n)\mathrm{\mid }\le 8\mathrm{\mid }g(n)\mathrm{\mid }|f(n)|\backslash leq\; 8|g(n)|$. Ainsi, f est un grand O de g.

3. Le terme 5/n tend vers zéro. Le quotient tend donc vers 3, et non vers zéro : f n'est pas un petit o de g. Dans la convention où Θ signifie une majoration et une minoration par des constantes positives, f et g ont le même ordre de croissance.

Contrôle refaisable : pour n = 10, f(10) = 350, g(10) = 100 et leur quotient vaut 3,5, conformément à 3 + 5/10. La figure suit ce quotient pour les dix premiers entiers positifs.

En théorie analytique des nombres, les notations de Landau condensent une estimation. On choisit O lorsque l'on veut établir une borne supérieure à constante multiplicative près ; on choisit o lorsque le terme comparé devient négligeable.

Dans l'étude de la distribution des nombres premiers, une écriture asymptotique sépare le comportement dominant d'un terme d'erreur. Le quotient des deux fonctions indique si le terme d'erreur reste seulement contrôlé ou s'efface relativement au terme principal.

Près d'un point, et pas seulement à l'infini, le même langage compare des fonctions. Le bon geste consiste à annoncer le point d'approche et le domaine, puis à vérifier que le quotient employé est bien défini.

Edmund Landau et la notation de Landau. Le premier est le mathématicien ; la seconde est un langage asymptotique associé à son nom, ainsi qu'à Hardy et Littlewood. Une date biographique concerne la personne, tandis qu'une expression comme O(g) compare des fonctions.

Grand O et petit o. Grand O donne une majoration à constante près. Petit o exige que le quotient tende vers zéro. Ainsi, 3n² + 5n est O(n²), mais n'est pas o(n²), puisque le quotient tend vers 3.

Théorie des nombres et théorie analytique des nombres. La seconde mobilise des outils d'analyse pour étudier les nombres. Les travaux de Landau décrits ici appartiennent essentiellement à cette branche, notamment autour de la distribution des nombres premiers.

Le point d'approche manque. Une relation asymptotique peut être étudiée à l'infini ou au voisinage d'un point. Sans cette précision, son sens est incomplet ; il faut annoncer explicitement la limite considérée.

Grand O est lu comme une égalité ordinaire. L'écriture f = O(g) ne donne pas les valeurs de f. Elle affirme une borne valable à partir d'un certain rang ou dans un voisinage déterminé.

Le quotient s'annule au dénominateur. Pour conclure directement avec f/g, la fonction g doit être non nulle dans la zone étudiée. Sinon, il faut revenir à une formulation par inégalité adaptée au domaine.

Ω ou Θ est interprété sans convention. Les usages typographiques et les définitions peuvent varier selon les textes. Il faut lire la convention de l'auteur avant de déduire une minoration ou un ordre exact ; la source associe ces symboles à Landau, Hardy et Littlewood sans détailler leur convention.

La notation de Landau précise le langage asymptotique associé à son nom et ses conditions d'emploi.

Le Grand O approfondit la majoration à constante multiplicative près utilisée dans l'exemple.

Le théorème des nombres premiers situe le résultat dont Landau propose une nouvelle démonstration en 1903.

La théorie analytique des nombres présente le domaine principal de ses recherches.