théorème des nombres premiers

Parmi les 100 premiers entiers positifs, 25 sont premiers. Jusqu’à 1 000, on en compte 168 ; jusqu’à 1 000 000, il y en a 78 498. Leur proportion diminue donc, mais pas au hasard complet.

Le théorème des nombres premiers donne la tendance générale : près d’un grand nombre x, la densité des nombres premiers est de l’ordre de 1/ln(x). Ainsi, x/ln(x) estime combien de nombres premiers se trouvent entre 1 et x. L’estimation n’est pas exacte pour une borne donnée, mais son erreur relative devient négligeable quand x grandit indéfiniment.

Pour un réel positif x, la fonction de comptage des nombres premiers, notée π(x), est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Le logarithme népérien de x est noté ln(x). Le théorème des nombres premiers compare π(x) à x/ln(x) lorsque x tend vers l’infini.

L’écriture asymptotique $\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}\backslash pi(x)\backslash sim\backslash frac\{x\}\{\backslash ln\; x\}$ signifie que le quotient des deux quantités tend vers 1 : Elle décrit une équivalence relative, non une égalité pour chaque valeur de x.

En divisant cette équivalence par x, on obtient que la proportion π(x)/x est asymptotiquement comparable à 1/ln(x). Comme 1/ln(x) tend vers 0, les nombres premiers deviennent proportionnellement plus rares, tout en restant infiniment nombreux. Legendre et Gauss ont formulé les premières conjectures précises ; Hadamard et de la Vallée Poussin ont démontré le théorème indépendamment en 1896. Erdős et Selberg en ont donné une preuve élémentaire en 1949, tandis que Landau a contribué à la théorie en 1903. Une formulation équivalente fait intervenir la fonction zêta de Riemann.

Soit x un réel positif et π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si x croît sans borne, alors π(x) est asymptotiquement équivalent à x/ln(x) : Autrement dit, le rapport π(x)ln(x)/x tend vers 1. Le résultat estime donc le comptage cumulé des nombres premiers avec une erreur relative qui tend vers 0.

Le domaine est celui des entiers naturels premiers comptés jusqu’à une borne réelle positive x. Il faut utiliser le logarithme népérien et étudier le régime x → +∞. La conclusion porte sur le rapport entre π(x) et x/ln(x) : elle garantit une approximation relative de plus en plus fidèle dans cette limite, sans fixer de seuil à partir duquel les deux valeurs seraient égales.

À x = 2, le comptage exact vaut π(2) = 1, alors que 2/ln(2) ≈ 2,885. Cette petite borne ne contredit pas le théorème : une équivalence asymptotique ne donne pas une formule exacte à x fixé. Pour connaître les nombres premiers d’un intervalle fini, il faut les compter ou les tester ; le théorème fournit seulement leur ordre de grandeur global.

Données. On compare trois bornes sans unité : x = 100, x = 1 000 et x = 1 000 000. Les comptages exacts sont respectivement π(x) = 25, 168 et 78 498.

1. Pour x = 100, l’estimation donne 100/ln(100) ≈ 21,715. Le rapport entre le comptage exact et l’estimation vaut 25/21,715 ≈ 1,151.

2. Pour x = 1 000, on obtient 1 000/ln(1 000) ≈ 144,765. Le rapport vaut alors 168/144,765 ≈ 1,160. Il s’éloigne ici légèrement de 1 : le rapprochement asymptotique n’a pas à être monotone.

3. Pour x = 1 000 000, le calcul donne 1 000 000/ln(1 000 000) ≈ 72 382,414. Le rapport 78 498/72 382,414 ≈ 1,084 est plus proche de 1.

4. Les densités exactes π(x)/x valent 0,25, 0,168 et 0,078 498. Les approximations 1/ln(x) valent environ 0,217 147, 0,144 765 et 0,072 382. La figure compare ces deux séries sans suggérer une égalité exacte.

Contrôle. Pour un million, l’écart relatif de l’approximation au comptage exact est (78 498 − 72 382,414)/78 498 ≈ 7,79 %. Cette erreur reste visible, mais elle est plus faible que les 13,14 % obtenus pour 100.

Pour estimer rapidement combien de nombres premiers ne dépassent pas une très grande borne x, on calcule x/ln(x). Si un comptage exact est nécessaire, cette approximation ne suffit pas : il faut déterminer effectivement les nombres premiers concernés.

Pour comparer la rareté des nombres premiers à différentes échelles, on confronte la densité observée π(x)/x à 1/ln(x). Le rapport π(x)ln(x)/x est le bon contrôle : sa tendance vers 1 exprime précisément le théorème.

Pour décider si un entier donné est premier, le théorème n’est pas l’outil adapté. Il renseigne sur une population entière jusqu’à x, pas sur le statut ni la position du prochain nombre premier.

Avec l’infinité des nombres premiers. Le résultat d’Euclide affirme qu’il existe toujours d’autres nombres premiers. Le théorème des nombres premiers quantifie leur répartition : pour une grande borne x, leur nombre cumulé est comparable à x/ln(x). La première question est qualitative ; la seconde est asymptotique et quantitative.

Avec un test de primalité. Un test répond pour un entier précis, par exemple « 997 est-il premier ? ». La fonction π(x) compte tous les nombres premiers jusqu’à x, et le théorème estime ce total. Une décision individuelle ne se déduit donc pas de x/ln(x).

Équivalence, pas égalité. Même à x = 1 000 000, π(x) vaut 78 498 alors que x/ln(x) ≈ 72 382,414. Remplacer le signe asymptotique par « = » produit donc un résultat faux ; pour une borne fixée, il faut conserver « ≈ » et annoncer l’erreur.

Convergence non monotone. Le rapport π(x)ln(x)/x vaut environ 1,151 à 100, 1,160 à 1 000, puis 1,084 à 1 000 000. Sa limite est 1, mais sa distance à 1 ne diminue pas nécessairement à chaque augmentation de x.

Densité nulle ne signifie pas disparition. La proportion π(x)/x tend vers 0, tandis que le nombre π(x) continue de croître. Il faut distinguer une part relative de plus en plus petite de l’existence d’une infinité de nombres premiers.

Aucune localisation individuelle. Le théorème décrit un comptage cumulé à grande échelle. Il ne donne ni la position exacte des nombres premiers ni la taille d’un écart particulier entre deux nombres premiers consécutifs. Pour ces questions, l’approximation globale x/ln(x) ne suffit pas.

nombre premier — Revenir à la définition des entiers que la fonction π(x) dénombre.

L'inépuisable théorème des nombres premiers — Approfondir les enjeux et prolongements du résultat au-delà de son énoncé asymptotique.

fonction zêta de Riemann — Examiner la fonction mentionnée dans une formulation équivalente du théorème.

Logarithme intégral — Découvrir une autre notion logarithmique liée au comptage des nombres premiers.