Logarithme intégral

Parmi les entiers de 1 à 1 000 000, exactement 78 498 sont premiers. Les compter un par un serait long. Le logarithme intégral fournit directement une estimation voisine : environ 78 628.

L'idée est de cumuler une densité qui diminue comme l'inverse du logarithme. Les nombres premiers se raréfient lorsque les entiers grandissent ; cette intégrale reproduit assez finement ce ralentissement. Elle ne donne pas un comptage exact, mais une valeur de comparaison très utile.

Le logarithme intégral est une fonction réelle notée $li(x)li(x)$. Pour un réel positif x différent de 1, elle cumule la fonction qui, à un réel positif t, associe l'inverse de son logarithme népérien. Sa définition s'écrit :

Le symbole PV indique une valeur principale de Cauchy lorsque x est supérieur à 1, car l'intégrande a une singularité en t = 1. Pour 0 < x < 1, l'intégrale impropre ne traverse pas cette singularité. La fonction n'est pas définie en x = 1. Si $\pi (x)\backslash pi(x)$ désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x, le théorème des nombres premiers affirme $\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}\backslash pi(x)\backslash sim\; \backslash frac\{x\}\{\backslash ln\; x\}$ quand x tend vers l'infini. Le logarithme intégral affine cette approximation asymptotique. Sous l'hypothèse de Riemann, l'écart satisfait notamment $\pi (x)-li(x)=O(\sqrt{x}\ln x)\backslash pi(x)-li(x)=O(\backslash sqrt\{x\}\backslash ln\; x)$.

On veut estimer combien de nombres premiers ne dépassent pas un million. Les données sont x = 1 000 000, son logarithme népérien ln(x) ≈ 13,8155 et le comptage exact de contrôle $\pi (x)=78498\backslash pi(x)=78\backslash ,498$.

1. L'approximation la plus simple donne $\frac{x}{\ln x}\approx \frac{1000000}{\mathrm{13,8155}}\approx 72\mathrm{382,41}\backslash frac\{x\}\{\backslash ln\; x\}\backslash approx\; \backslash frac\{1\backslash ,000\backslash ,000\}\{13\{,\}8155\}\backslash approx72\backslash ,382\{,\}41$.

2. Dans un logiciel de calcul qui propose l'intégrale exponentielle Ei, on évalue $li(x)=\mathrm{Ei}(\ln x)li(x)=\backslash operatorname\{Ei\}(\backslash ln\; x)$. En saisissant x = 1 000 000, on obtient $li(1000000)\approx 78\mathrm{627,55}li(1\backslash ,000\backslash ,000)\backslash approx78\backslash ,627\{,\}55$.

3. On compare les écarts absolus : environ 6 115,59 pour x/ln(x), contre environ 129,55 pour li(x). Ici, le logarithme intégral est donc nettement plus proche du comptage exact.

Le contrôle est refaisable en recensant les nombres premiers jusqu'à un million avec un crible : le total doit être 78 498. La figure compare les trois valeurs sur une même échelle.

Pour estimer rapidement le nombre de premiers jusqu'à une grande borne, on évalue li(x). Si un ordre de grandeur suffit ou si le calcul doit rester élémentaire, x/ln(x) est une alternative plus simple.

Pour juger une approximation, on calcule ensuite un comptage exact sur une borne accessible, par exemple avec un crible. L'écart observé indique si la précision de li(x) convient au problème ; une liste exacte reste nécessaire quand chaque nombre premier doit être identifié.

En théorie analytique des nombres, li(x) sert de valeur centrale pour étudier l'erreur de comptage. On examine alors la différence entre π(x) et li(x), plutôt que la seule proportion de nombres premiers.

Le logarithme népérien. La fonction ln(x) prend le logarithme d'un nombre ; li(x) intègre l'inverse de ln(t). Ainsi, ln(1 000 000) vaut environ 13,8155, tandis que li(1 000 000) vaut environ 78 627,55.

La fonction de comptage des nombres premiers. La fonction π(x) renvoie un entier exact, tandis que li(x) renvoie une valeur réelle exacte dont l'évaluation numérique est généralement approchée. À un million, li(x) ne constitue qu'une estimation de π(x) : π(x) vaut 78 498 et li(x) vaut environ 78 627,55.

Le nombre π. Dans π(x), la lettre grecque nomme une fonction dépendant de x, et non la constante géométrique 3,14159… Le test est immédiat : π(100) = 25 compte des nombres premiers.

Le passage par 1. L'expression 1/ln(t) devient singulière en t = 1. Pour x > 1, une intégrale ordinaire de 0 à x diverge ; il faut employer la valeur principale de Cauchy. En x = 1, li(x) n'est pas défini.

Une meilleure approximation n'est pas une victoire à chaque borne. À x = 100, π(x) = 25, x/ln(x) ≈ 21,71 et li(x) ≈ 30,13. L'approximation simple est alors la plus proche ; l'avantage de li(x) concerne sa richesse asymptotique, pas une comparaison point par point universelle.

Une estimation réelle n'est pas un décompte. Arrondir li(1 000 000) à 78 628 ne produit pas le nombre exact de premiers, qui vaut 78 498. Lorsqu'un total exact est requis, il faut compter les premiers, par exemple avec un crible.

L'inépuisable théorème des nombres premiers — Pour replacer li(x) dans le résultat asymptotique qui décrit la raréfaction des nombres premiers.

fonction logarithme népérien — Pour revoir la fonction ln qui intervient au dénominateur de l'intégrande et dans l'approximation x/ln(x).