fonction pi

Écrivons les nombres premiers qui ne dépassent pas 18 : 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17. Il y en a sept. La fonction pi transforme précisément ce comptage en une valeur : à 18, elle associe 7.

Quand le seuil avance, le compteur reste immobile sur les nombres composés et augmente d'une unité lorsqu'il rencontre un nombre premier. Son graphe ressemble donc à un escalier.

La fonction pi, aussi appelée fonction de comptage des nombres premiers, s'applique à tout nombre réel x. Sa valeur est le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à x. En notant p ce nombre, la définition s'écrit $\pi (x)=p\backslash pi(x)=p$. La borne x est incluse : si x est lui-même premier, il participe au comptage.

Par convention, π(x) = 0 lorsque x < 2, puisque 2 est le premier seuil auquel le compteur augmente. Entre deux nombres premiers consécutifs, la valeur ne change pas. À chaque nombre premier, elle augmente exactement d'une unité : la fonction est croissante au sens large et en escalier. Le seuil peut être non entier : π(18,5) = 7, car le nombre premier suivant est 19 et n'est pas encore inclus.

Le théorème des nombres premiers décrit son comportement pour de très grandes valeurs de x. Le logarithme naturel de x étant noté ln(x), il affirme l'équivalence asymptotique suivante : $\pi (x)\sim \frac{x}{\ln (x)}(x\to +\mathrm{\infty })\backslash pi(x)\backslash sim\; \backslash frac\{x\}\{\backslash ln(x)\}\backslash quad\; (x\backslash to\; +\backslash infty)$. Cette relation donne une approximation relative de plus en plus fidèle ; ce n'est pas une égalité pour chaque x.

Quatre éléments font fonctionner ce compteur. Le réel x fixe le seuil. Les nombres premiers fournissent les entiers à examiner. La comparaison « inférieur ou égal à x » sélectionne ceux qui ne dépassent pas ce seuil. Enfin, le cardinal de cette sélection, c'est-à-dire son nombre d'éléments, donne π(x).

Le résultat dépend donc à la fois du seuil choisi et de la position des nombres premiers. Déplacer x sans franchir de nombre premier laisse le cardinal inchangé ; franchir un nombre premier ajoute un élément. Ces données suffisent à calculer chaque valeur et à construire le graphe en escalier. Le tracé illustre ce mécanisme de 0 à 20, avec un saut exactement aux nombres premiers.

On cherche la valeur de la fonction pi au seuil 18. Données :
Le seuil est x = 18.
Un entier est retenu s'il est premier et inférieur ou égal à 18.

1. Écrire les entiers premiers rencontrés jusqu'au seuil : 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17.
2. Vérifier la borne : 17 est retenu, tandis que le nombre premier suivant, 19, dépasse 18.
3. Compter les éléments de la liste : ils sont sept.
4. Conclure : π(18) = 7.

Le contrôle peut être refait avec le seuil 10 : seuls 2, 3, 5 et 7 sont retenus, donc π(10) = 4. La même règle d'inclusion de la borne est appliquée dans les deux calculs.

Pour un petit seuil, on dresse la liste des nombres premiers puis on les compte. Ce calcul direct est préférable à une approximation lorsque la valeur exacte de π(x) est demandée.

Pour un seuil très grand, le quotient x/ln(x) donne un ordre de grandeur sans énumérer tous les nombres premiers. On le préfère au comptage direct lorsque l'on étudie la tendance globale, tout en gardant le signe ≈ plutôt que = pour une valeur particulière.

Sur un graphe, on repère les nombres premiers grâce aux sauts de l'escalier. Un palier indique qu'aucun nouveau nombre premier n'a été franchi ; un saut d'une unité indique que le seuil atteint un nombre premier.

La fonction π(x) n'est pas la constante π, dont la valeur est environ 3,14159. Le critère est la présence d'une entrée x : π(x) varie avec le seuil et prend ici des valeurs entières, tandis que la constante π ne dépend d'aucun seuil. Ainsi, π(10) = 4 concerne le comptage des nombres premiers ; écrire π ≈ 3,14159 concerne la constante.

Sous le premier seuil. Pour x < 2, chercher un nombre premier à compter ne produit aucun élément : la convention donne π(x) = 0. Au seuil charnière x = 2, le nombre 2 est inclus et π(2) = 1.

Sur un palier. Une hausse de x n'entraîne pas toujours une hausse de π(x). Par exemple, les seuils 17 et 18 retiennent la même liste, donc π(17) = π(18) = 7. Il faut rechercher le franchissement d'un nombre premier, pas seulement l'augmentation du seuil.

Approximation asymptotique. La relation π(x) ∼ x/ln(x) décrit une tendance quand x tend vers l'infini. Le symbole ∼ ne transforme pas le quotient en valeur exacte à seuil fini. Pour obtenir π(18), il faut compter les nombres premiers et conserver l'égalité π(18) = 7.

L'inépuisable théorème des nombres premiers approfondit la loi asymptotique qui relie π(x) au quotient x/ln(x).

nombres premiers jumeaux présente une famille particulière de nombres premiers et prolonge l'étude de leur distribution.