nombres premiers jumeaux

Écrivons 11 et 13 sur une ligne de nombres. Ils sont tous deux premiers, et un seul entier, 12, les sépare. Leur différence vaut 2 : 11 et 13 forment donc un couple de nombres premiers jumeaux.

Le mot « jumeaux » ne signifie pas que les deux nombres se suivent immédiatement. Il exprime le plus petit écart possible entre deux nombres premiers impairs. Savoir si de tels couples existent en quantité infinie demeure une conjecture.

Deux nombres premiers jumeaux forment un couple de la forme (p, p + 2), où p et p + 2 sont tous deux premiers. La différence égale donc exactement 2. Les premiers couples sont (3, 5), (5, 7) et (11, 13). Comme 2 est le seul nombre premier pair et que 4 n'est pas premier, les deux membres d'un couple de jumeaux sont impairs. La paire (2, 3), séparée par 1, n'est pas un couple de premiers jumeaux.

À l'exception de (3, 5), tout couple s'écrit (6n − 1, 6n + 1), pour un entier n. Parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de 3. Pour deux premiers séparés de 2 et supérieurs à 3, ce multiple est nécessairement l'entier situé entre eux. Cette forme est nécessaire, mais elle ne suffit pas : 23 et 25 s'écrivent 6 × 4 − 1 et 6 × 4 + 1, pourtant 25 n'est pas premier.

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de tels couples. Elle reste non démontrée. En 1919, Viggo Brun a néanmoins démontré que la série des inverses des membres de ces couples converge vers la constante de Brun. En 1949, P. A. Clement a donné un critère exact. Pour tout entier m strictement supérieur à 1, m et m + 2 sont premiers jumeaux si et seulement si :

Examinons le couple candidat (11, 13). Les données sont les deux entiers 11 et 13, ainsi que les diviseurs premiers qui ne dépassent pas leurs racines carrées. Pour ces deux nombres, il suffit de tester 2 et 3.

1. 11 n'est divisible ni par 2 ni par 3. Il est donc premier.

2. 13 n'est divisible ni par 2 ni par 3. Il est donc premier.

3. Leur différence est 13 − 11 = 2. Les deux conditions sont réunies : (11, 13) est un couple de nombres premiers jumeaux.

Le contrôle par la forme générale donne le même verdict : avec l'entier n égal à 2, 6 × 2 − 1 = 11 et 6 × 2 + 1 = 13. La figure matérialise l'unique entier placé entre les deux premiers et l'écart total de deux unités.

Pour tester un petit couple candidat, on vérifie d'abord séparément que chaque nombre est premier, puis on soustrait le plus petit du plus grand. Un écart de 2 ne suffit pas si l'un des deux nombres est composé.

Pour écarter rapidement des candidats supérieurs à 3, on cherche la forme (6n − 1, 6n + 1). Si elle manque, le couple ne convient pas. Si elle est présente, un test de primalité reste nécessaire.

Pour établir théoriquement qu'un couple (m, m + 2) convient, le critère de Clement offre une équivalence exacte. Pour de petits nombres, les tests de divisibilité sont plus directs et rendent immédiatement visible un éventuel facteur.

Nombres premiers consécutifs. Deux premiers peuvent se suivre dans la liste des nombres premiers sans être jumeaux. Ainsi, 7 et 11 sont consécutifs dans cette liste, mais leur différence vaut 4.

Entiers de la forme 6n ± 1. Cette forme sélectionne seulement des candidats lorsque les nombres dépassent 3. Pour n = 4, elle donne 23 et 25 ; la présence du facteur 5 dans 25 exclut un couple de premiers jumeaux.

Le seuil inférieur. La paire (2, 3) réalise l'écart minimal de 1 entre deux nombres premiers, mais elle n'est pas jumelle. Le critère exige exactement 2.

L'exception (3, 5). Ce couple est bien jumeau, mais il ne s'écrit pas (6n − 1, 6n + 1) avec un entier n. Il faut le traiter séparément avant d'employer cette forme.

Une condition seulement nécessaire. La forme 6n ± 1 n'établit jamais à elle seule la primalité. Le symptôme du piège est un facteur non trivial dans l'un des candidats ; il faut tester les deux nombres.

Une infinité non acquise. Une longue liste de couples, même prolongée par de nouveaux records, ne démontre pas qu'il en existe une infinité. En 2007, le plus grand couple connu s'écrivait 2 003 663 613 × 2^{195 000} ± 1 et comptait 58 711 chiffres par membre. Ce jalon daté ne constitue pas une preuve de la conjecture.

Nombre premier — Revoir le critère de primalité indispensable pour valider chacun des deux membres d'un couple.

Constante de Brun — Approfondir la convergence démontrée en 1919 pour la série des inverses associée aux premiers jumeaux.

Conjecture — Situer précisément ce que signifie une affirmation mathématique étayée mais encore non démontrée.

Ce nombre est-il premier ? — Prolonger le test des candidats par les méthodes consacrées à la reconnaissance des nombres premiers.