constante de Brun

Prenez les paires de nombres premiers séparés par 2 : (3, 5), (5, 7), (11, 13), puis (17, 19). Pour chacune, additionnez les inverses des deux nombres. Le nombre 5 intervient deux fois, car il appartient à deux paires différentes.

En poursuivant avec toutes les paires de premiers jumeaux, le total augmente, mais les ajouts deviennent assez petits pour tendre vers une valeur finie. Cette valeur est la constante de Brun, notée B₂, environ égale à 1,9021604.

Deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers dont la différence vaut 2. Si la lettre p désigne le plus petit nombre d'une telle paire, celle-ci s'écrit (p, p + 2). La constante de Brun, notée B₂, additionne les inverses des deux membres de chaque paire : Une même valeur est donc comptée dans chaque paire à laquelle elle appartient ; 5 figure dans (3, 5) et dans (5, 7).

Les sommes partielles, obtenues en ne prenant qu'un nombre fini de paires, augmentent puisque tous les termes sont positifs. Viggo Brun a démontré en 1919 que la série converge : ces sommes partielles tendent vers une limite finie. Cette limite vaut approximativement B₂ ≈ 1,9021604.

Cette convergence contraste avec la divergence de la somme des inverses de tous les nombres premiers. Elle ne décide toutefois pas si les paires de nombres premiers jumeaux sont en nombre fini ou infini. Cette question est précisément celle de la conjecture des nombres premiers jumeaux, qui reste ouverte.

Calculons la somme partielle associée aux quatre premières paires données : (3, 5), (5, 7), (11, 13) et (17, 19). Les données sont ces huit occurrences, avec 5 présent deux fois, et la constante de Brun, notée B₂, vaut environ 1,9021604.

1. Notons S₄ la somme des inverses obtenue après ces quatre paires, puis additionnons paire par paire :

2. Regroupons les deux occurrences de 1/5. On obtient : Le coefficient 2 ne vient pas d'un doublon accidentel : il traduit les deux paires contenant 5.

3. La mise au même dénominateur donne exactement S₄ = 5 603 888/4 849 845, soit S₄ ≈ 1,155477752. La figure replace ce résultat parmi les quatre sommes partielles successives.

4. Contrôlons l'ordre de grandeur : 1,155477752 est inférieur à 1,9021604, et l'écart est d'environ 0,746682648. Les termes étant positifs, ajouter d'autres paires ne peut que faire augmenter la somme partielle vers B₂.

Pour calculer une approximation à partir d'une liste de premiers jumeaux, notez p le plus petit membre de chaque paire (p, p + 2), puis additionnez 1/p + 1/(p + 2). Si un premier appartient à deux paires, comme 5, son inverse doit apparaître deux fois.

Pour contrôler un calcul automatisé, comparez d'abord ses premières sommes partielles aux valeurs refaisables : 8/15 après (3, 5), puis 92/105 après (5, 7). Une omission de la seconde occurrence de 1/5 se repère immédiatement.

Pour interpréter un résultat théorique, choisissez le bon objet. La constante de Brun mesure la somme convergente attachée aux paires jumelles ; si la question porte sur l'existence d'une infinité de telles paires, il faut revenir à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Constante de Brun et conjecture des nombres premiers jumeaux. La première affirme qu'une série d'inverses possède une limite finie ; la seconde demande s'il existe une infinité de paires. Connaître B₂ ne tranche donc pas la conjecture.

Inverses des premiers jumeaux et inverses de tous les nombres premiers. Le critère est l'ensemble additionné. La série définissant B₂ ne retient que les premiers appartenant à une paire jumelle, avec répétition éventuelle ; la série portant sur tous les nombres premiers diverge.

Une même valeur peut contribuer deux fois. Dans les deux premières paires, 5 appartient à (3, 5) et à (5, 7). Une somme où 1/5 n'apparaît qu'une fois donne 71/105 au lieu de 92/105 après ces deux paires ; il faut sommer les paires, pas les valeurs distinctes.

Une somme partielle n'est pas la constante. Les quatre premières paires donnent environ 1,155477752, et non 1,9021604. Le symptôme est un résultat annoncé comme exact alors que des paires ont été omises ; il faut le présenter comme une approximation par défaut.

Finitude de la somme, pas du nombre de paires. Une série de termes positifs peut converger tout en comportant une infinité de termes. La convergence démontrée par Brun ne fournit donc aucun verdict sur l'infinité des nombres premiers jumeaux ; cette conjecture reste ouverte.

nombres premiers jumeaux — Approfondir la structure des paires dont les inverses alimentent la constante de Brun.

nombre premier — Revoir la propriété arithmétique exigée des deux membres de chaque paire jumelle.

L'inépuisable théorème des nombres premiers — Situer les nombres premiers dans un résultat global distinct de la question particulière des paires jumelles.