conjecture de Hardy et Littlewood

Parmi les nombres premiers, certains arrivent presque côte à côte : 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13. Leur écart vaut toujours 2. La première conjecture de Hardy et Littlewood prévoit combien de ces paires apparaissent avant une très grande limite. Elle annonce aussi qu'il en existe une infinité, sans que cela soit démontré.

La seconde conjecture compare le nombre de nombres premiers présents avant x + y avec ceux présents avant x et avant y. Elle constitue un énoncé distinct. Un résultat de 1974 affirme que les deux conjectures sont incompatibles : elles ne peuvent pas être vraies ensemble.

L'expression « conjectures de Hardy et Littlewood » désigne ici deux propositions indépendantes de théorie des nombres. Pour la première, π₂(x) compte les nombres premiers p inférieurs ou égaux au réel x pour lesquels p + 2 est également premier. Chaque valeur de p repère ainsi une paire de nombres premiers jumeaux. La constante C₂, appelée constante des nombres premiers jumeaux, vaut approximativement 0,6601618 et se définit par le produit suivant :Dans ce produit, la lettre p parcourt les nombres premiers au moins égaux à 3.

La première conjecture affirme que, lorsque x devient arbitrairement grand, le quotient entre π₂(x) et l'intégrale asymptotique tend vers 1 :Le symbole ∼ exprime un équivalent asymptotique, non une égalité pour chaque x. Une démonstration entraînerait l'existence d'une infinité de nombres premiers jumeaux.

Pour la seconde conjecture, π(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Elle affirme que π(x + y) ne dépasse pas π(x) + π(y) pour tous réels x et y au moins égaux à 2. Cette proposition n'est ni démontrée ni infirmée dans la source. Ian Richards a cependant établi en 1974 qu'elle est incompatible avec la première conjecture ; les deux ne peuvent donc être simultanément vraies.

Pour un réel x qui tend vers l'infini, on compte par π₂(x) les premiers p ≤ x dont le nombre p + 2 est premier. La première conjecture s'énonce alors :La constante C₂ vaut approximativement 0,6601618.

Indépendamment, si π(x) compte tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à x, la seconde conjecture affirme :Les deux énoncés sont conjecturaux et incompatibles entre eux.

La première conjecture s'applique à un comptage ordonné par une borne x. Il faut vérifier que p est premier, que p ≤ x et que p + 2 est premier. Sa conclusion concerne le comportement du comptage lorsque x tend vers l'infini ; elle ne fournit pas une égalité exacte pour une borne donnée.

La seconde utilise la fonction π pour deux réels x et y, chacun au moins égal à 2, puis compare π(x + y) à la somme π(x) + π(y). Si x ou y est inférieur à 2, on sort du domaine explicitement énoncé par la conjecture : cette formulation ne permet alors aucune conclusion.

Un autre contre-cas de lecture survient à petite échelle : remplacer le symbole asymptotique ∼ par une égalité bloque le raisonnement. Il faut compter directement les paires pour la borne choisie et réserver la formule à une estimation dont la pertinence est asymptotique.

Prenons la borne x = 100. Les données sont la liste des nombres premiers au plus égaux à 100 et l'écart imposé, égal à 2. Il faut compter chaque premier p ≤ 100 pour lequel p + 2 est encore premier.

1. On teste les premiers dans l'ordre.
2. On conserve les paires (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) et (71, 73).
3. On compte huit premières composantes p : π₂(100) = 8.

Chaque paire représentée respecte le même contrôle refaisable : les deux nombres sont premiers et le second moins le premier vaut 2. Le nombre 5 appartient à deux paires, mais celles-ci correspondent à deux valeurs distinctes de p, 3 puis 5.

Avec C₂ ≈ 0,6601618, l'expression asymptotique donne ici :Cette estimation ne vaut pas le compte exact 8. L'écart à x = 100 confirme qu'un équivalent décrit une tendance lorsque x grandit, et non une identité à toute borne.

Pour une borne modeste, on dresse la liste des nombres premiers et l'on teste p + 2. Ce comptage direct est préférable à la formule asymptotique quand on veut une valeur exacte, comme π₂(100) = 8.

Pour étudier une borne très grande, la première conjecture fournit un modèle de croissance du nombre de paires. On compare alors le comptage observé à l'intégrale multipliée par 2C₂, en examinant leur rapport plutôt qu'une égalité terme à terme.

Pour la seconde conjecture, le geste est différent : on calcule π(x), π(y) et π(x + y), puis on teste l'inégalité. Des vérifications numériques peuvent soutenir ou contredire un cas particulier, mais elles ne démontrent pas l'énoncé pour tous x et y.

Les nombres premiers jumeaux sont les paires elles-mêmes, comme 11 et 13. La première conjecture de Hardy et Littlewood est une affirmation sur leur nombre sous une borne ; rencontrer une paire ne vérifie donc pas la conjecture asymptotique.

Il faut aussi distinguer π₂(x) de π(x). La première fonction compte les premiers p qui commencent une paire jumelle, tandis que la seconde compte tous les premiers jusqu'à x. À x = 100, π₂(100) = 8, et ces huit valeurs ne constituent pas la liste de tous les nombres premiers inférieurs à 100.

Enfin, les deux conjectures attribuées à Hardy et Littlewood ne forment pas un seul énoncé en deux étapes. La première estime les paires jumelles ; la seconde impose une inégalité à π. Leur incompatibilité interdit précisément de traiter la seconde comme une conséquence de la première.

Équivalent, pas égalité. À x = 100, le comptage exact donne 8 alors que l'expression asymptotique vaut environ 13,5. Si les deux valeurs sont exigées égales, le symbole ∼ a été mal lu ; il faut étudier leur rapport lorsque x grandit.

Un calcul fini ne prouve pas l'infinité. Une liste, même longue, établit seulement les paires rencontrées jusqu'à sa borne. Pour conclure qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, il faudrait démontrer la première conjecture ou disposer d'une autre preuve générale.

Une paire peut partager un nombre avec une autre. Les paires (3, 5) et (5, 7) sont toutes deux comptées, car π₂(x) compte leurs premières composantes 3 et 5. Éliminer la seconde au motif que 5 a déjà été utilisé fausserait le comptage.

Incompatibles ne signifie pas toutes deux fausses. Le résultat attribué à Ian Richards en 1974 exclut leur vérité simultanée. Il ne choisit pas à lui seul laquelle est vraie ; la seconde demeure non démontrée et non infirmée dans la source, bien qu'elle soit généralement considérée comme probablement fausse.

La fiche nombres premiers jumeaux approfondit les paires d'écart 2 qui constituent l'objet du premier comptage.

Un prolongement naturel consiste à comparer, pour des bornes croissantes, le compte exact π₂(x) et son expression asymptotique. Le quotient attendu tend vers 1, même si les deux valeurs restent différentes à chaque étape observée.