conjecture de Polignac

Regardons les nombres premiers 7, 11, 13, 17, 19 et 23. On repère plusieurs paires de nombres premiers consécutifs séparées par quatre unités : (7, 11), (13, 17) et (19, 23). La conjecture de Polignac affirme que ce phénomène ne s'arrête jamais. Pour chaque écart pair fixé à l'avance, aussi grand soit-il, il existerait une infinité de paires de nombres premiers consécutifs présentant exactement cet écart.

Le mot conjecture est essentiel : de nombreux exemples peuvent soutenir l'affirmation, mais ils ne constituent pas une preuve de l'infinité annoncée.

La conjecture de Polignac est une affirmation ouverte sur les écarts entre nombres premiers consécutifs. On fixe un entier naturel k au moins égal à 1. On cherche ensuite deux nombres premiers consécutifs p et q, avec q supérieur à p, dont la différence vaut exactement le nombre pair 2k. La conjecture affirme qu'il existe une infinité de telles paires pour chaque valeur fixée de k.

Avec ces notations, l'énoncé complet s'écrit : $\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{il existe une infinit}\acute{\text{e}}\text{ de nombres premiers cons}\acute{\text{e}}\text{cutifs }p<q\text{ tels que }q-p=2k\backslash forall\; k\backslash in\backslash mathbb\{N\}^\{*\},\backslash \; \backslash text\{il\; existe\; une\; infinité\; de\; nombres\; premiers\; consécutifs\; \}p\backslash lt\; q\backslash text\{\; tels\; que\; \}q-p=2k$. L'écart doit être égal à 2k, et non simplement inférieur ou égal à cette valeur. Les deux membres de la paire doivent être premiers et aucun autre nombre premier ne doit se trouver entre eux.

Le cas k = 1 donne un écart de 2 : c'est la conjecture des nombres premiers jumeaux. Le cas k = 2 donne un écart de 4 et concerne les nombres premiers cousins consécutifs. Formulée par Alphonse de Polignac en 1846, la conjecture générale demeure non résolue pour chaque valeur de k. Le résultat obtenu par Yitang Zhang en 2013 établit l'existence d'une borne finie H pour une infinité de paires de nombres premiers consécutifs distantes d'au plus H ; il ne fixe pas à l'avance leur écart exact.

Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 1. La conjecture affirme qu'il existe une infinité de couples de nombres premiers consécutifs p et q, ordonnés de sorte que p soit inférieur à q, pour lesquels :

Le quantificateur porte sur chaque k fixé, tandis que la conclusion porte sur une infinité de paires consécutives. Vérifier quelques paires pour une valeur de k illustre donc l'énoncé sans le démontrer.

L'énoncé s'applique après avoir fixé un entier naturel k ≥ 1. Il faut alors contrôler quatre points : p et q sont tous deux premiers ; q est supérieur à p ; aucun nombre premier ne se trouve strictement entre eux ; leur différence est exactement 2k. La conclusion attendue n'est pas l'existence d'une seule paire, mais celle d'une infinité de paires satisfaisant simultanément ces conditions.

Par exemple, pour k = 2, les nombres 9 et 13 ont bien une différence égale à 4, mais ils ne forment pas une paire admissible puisque 9 n'est pas premier. À l'inverse, une paire de premiers dont l'écart est seulement inférieur à une borne relève d'un résultat sur les écarts bornés, pas encore de l'égalité exacte exigée par la conjecture.

Prenons le cas k = 2. L'écart recherché vaut alors 2 × 2 = 4. Les paires de nombres premiers consécutifs (7, 11), (13, 17) et (19, 23) serviront au contrôle ; le schéma représente le même intervalle de quatre unités pour chacune.

Données.
Valeur fixée : k = 2.
Écart exigé : 2k = 4.
Paires testées : (7, 11), (13, 17) et (19, 23).

Étape 1. Les nombres 7 et 11 sont premiers, aucun nombre premier ne se trouve entre eux, et 11 − 7 = 4. La première paire satisfait les conditions.

Étape 2. Les nombres 13 et 17 sont premiers, aucun nombre premier ne se trouve entre eux, et 17 − 13 = 4. La deuxième paire satisfait les mêmes conditions.

Étape 3. Les nombres 19 et 23 sont premiers, aucun nombre premier ne se trouve entre eux, et 23 − 19 = 4. La troisième paire convient également.

Contrôle. Chaque soustraction redonne exactement 2k = 4, chaque extrémité est première et aucun nombre premier ne s'intercale. Ces trois vérifications illustrent le cas des nombres premiers cousins consécutifs. Elles ne prouvent pas qu'il existe une infinité de telles paires : c'est précisément la partie encore conjecturale.

Pour tester une paire candidate, on vérifie d'abord que ses deux termes sont premiers et qu'aucun nombre premier ne se trouve entre eux, puis on soustrait le plus petit du plus grand. Ce contrôle décide si la paire de nombres premiers consécutifs réalise l'écart 2k choisi.

Pour explorer un cas particulier, on peut dresser une liste finie de nombres premiers et relever les termes consécutifs ayant exactement le même écart. Si l'on cherche seulement des paires proches sans imposer leur différence, une recherche par borne maximale répond à une autre question.

Le bon réflexe consiste enfin à séparer expérimentation et preuve. Même une longue liste de paires compatibles confirme des cas observés ; elle ne suffit pas à établir qu'il en existe une infinité.

Conjecture de Polignac et conjecture des nombres premiers jumeaux. La seconde est le cas k = 1 de la première. Une paire de nombres premiers consécutifs distante de 2 relève des jumeaux ; si elle est distante de 4, elle relève du cas k = 2.

Écart exact et écart borné. Polignac impose q − p = 2k pour une valeur de k choisie à l'avance. Le résultat de Zhang cité dans la source garantit des paires distantes d'au plus une certaine constante H, ce qui n'impose pas un écart exact fixé.

Paire de premiers et nombres premiers consécutifs. L'énoncé demande deux nombres premiers consécutifs séparés de 2k : aucun autre nombre premier ne doit se trouver entre eux. Ainsi, (3, 7) a bien une différence égale à 4, mais ne constitue pas une paire admissible puisque 5 est premier.

Une liste finie ne conclut pas. Trouver trois, mille ou davantage de paires pour un même écart ne démontre pas qu'il en existe une infinité. Il faut présenter ce calcul comme une vérification expérimentale.

Le seuil k = 1 est obligatoire. Le paramètre de la conjecture est un entier naturel au moins égal à 1. Prendre k = 0 donnerait un écart nul et ne correspondrait pas à l'énoncé.

« Au plus H » ne signifie pas « égal à 2k ». Une borne supérieure autorise plusieurs écarts possibles. Elle ne suffit donc pas, à elle seule, à établir le cas exact choisi dans la conjecture de Polignac.

Le statut reste conjectural. Le cas k = 1, le cas k = 2 et la forme générale sont présentés comme non résolus dans la source. Aucun exemple numérique ne doit être formulé comme une preuve.

nombre premier — Revoir le critère qui doit être satisfait par chacune des deux extrémités d'une paire.

nombres premiers jumeaux — Approfondir le cas particulier k = 1, où l'écart fixé vaut exactement 2.

L'inépuisable théorème des nombres premiers — Situer les paires étudiées dans la question plus large de la répartition des nombres premiers.