conjecture de Bertrand

Prenez un entier à partir de 2, par exemple 10, puis regardez les entiers qui le suivent jusqu’à son double, 20. Vous rencontrerez forcément un nombre premier : ici, 11 convient déjà. La conjecture de Bertrand affirme que cette rencontre se produit toujours, quelle que soit la taille de l’entier de départ.

Malgré son nom historique, ce n’est plus une conjecture à démontrer : Tchebychev en a établi la preuve.

La conjecture de Bertrand est un théorème d’arithmétique sur la répartition des nombres premiers. Pour tout entier de départ, noté n, supérieur ou égal à 2, elle garantit l’existence d’au moins un nombre premier, noté p, strictement supérieur à n et inférieur ou égal au double de n.

La condition et la conclusion s’écrivent . L’énoncé porte sur chaque entier admissible, mais il ne précise ni combien de nombres premiers se trouvent dans l’intervalle ni comment trouver le premier d’entre eux.

Joseph Bertrand a formulé l’énoncé en 1845. Pafnouti Tchebychev l’a ensuite démontré, puis Ramanujan et Erdős en ont donné des démonstrations élémentaires. Les appellations « postulat de Bertrand » et « théorème de Tchebychev » désignent donc le même résultat démontré.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Alors il existe au moins un nombre premier p tel que . Autrement dit, l’intervalle qui commence juste après n et va jusqu’à son double contient toujours un nombre premier. Pour appliquer l’énoncé, il suffit donc de vérifier que le nombre de départ est un entier et que n ≥ 2.

Le nombre de départ n doit être un entier, et il doit vérifier n ≥ 2. L’intervalle étudié exclut n, puisque le nombre premier recherché doit être strictement plus grand, mais il inclut la borne 2n. La conclusion garantit seulement qu’au moins un nombre premier p satisfait ces bornes.

Avec n = 0, l’hypothèse échoue et aucun entier positif ne peut vérifier 0 < p ≤ 0. Le théorème ne s’applique donc pas. Pour un nombre de départ inférieur à 2 ou non entier, il faut étudier directement l’intervalle ou choisir un résultat adapté à ce domaine.

Données. On choisit l’entier n = 10. Son double vaut 20. On cherche un nombre premier p dans l’intervalle défini par .

1. Les entiers candidats sont 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 et 20.

2. Le premier candidat, 11, n’est divisible ni par 2 ni par 3. Comme √11 est inférieur à 4, ces essais suffisent : 11 est premier.

3. Les bornes sont respectées : 10 < 11 ≤ 20. Le nombre p = 11 confirme donc la conclusion du théorème pour n = 10.

Contrôle. L’intervalle contient aussi 13, 17 et 19, qui sont premiers. Le théorème n’en exigeait qu’un seul ; retrouver 11 suffit à vérifier ce cas.

Pour garantir qu’un nombre premier existe dans une plage, on choisit un entier n ≥ 2 et on sait immédiatement que l’intervalle allant de n exclu à 2n inclus n’est pas vide de nombres premiers. Si l’on doit identifier effectivement ce nombre, cette garantie doit être complétée par un test de primalité.

Pour estimer la densité moyenne des nombres premiers très loin dans les entiers, le théorème des nombres premiers est plus adapté. La conjecture de Bertrand répond à une autre question : elle assure une présence dans chaque intervalle de la forme considérée.

Pour décider si un entier donné est premier, on emploie un test de primalité plutôt que ce théorème. La fiche Ce nombre est-il premier ? présente précisément ce geste.

Le théorème des nombres premiers. Il décrit le comportement asymptotique du nombre de nombres premiers jusqu’à une grande borne. La conjecture de Bertrand donne au contraire une garantie d’existence dans chaque intervalle entre un entier admissible et son double. Pour n = 10, elle garantit directement un premier entre 10 et 20.

Le théorème de Sylvester cité comme généralisation. Il concerne le produit de k entiers consécutifs, tous supérieurs à k, et assure qu’un nombre premier strictement supérieur à k divise ce produit. Son critère porte sur une divisibilité, pas directement sur l’intervalle entre n et 2n.

Le seuil n = 2 compte. C’est le premier cas couvert : le nombre premier 3 vérifie 2 < 3 ≤ 4. En dessous de ce seuil, l’énoncé ne fournit aucune garantie générale.

« Au moins un » ne signifie pas « un seul ». Pour n = 10, les nombres 11, 13, 17 et 19 conviennent tous. Il faut lire le résultat comme une garantie minimale, sans en déduire le nombre exact de premiers présents.

La borne supérieure est écrite 2n inclus. Pour n ≥ 2, le nombre 2n est pair et supérieur à 2, donc composé. Le nombre premier garanti est en réalité strictement inférieur à 2n, même si la formulation source utilise ≤.

Le mot « conjecture » est historique. Le résultat est démontré. Il ne faut donc pas présenter son statut actuel comme une question ouverte, ni prendre cette garantie d’existence pour un algorithme qui produit automatiquement p.

Le glossaire nombre premier précise l’objet dont la présence est garantie et les critères élémentaires qui permettent de le reconnaître.

Le théorème des nombres premiers élargit la perspective en décrivant la fréquence asymptotique des nombres premiers, là où le résultat de Bertrand contrôle chaque intervalle entre n et 2n.

L’article Ce nombre est-il premier ? prolonge l’exemple en montrant comment tester un candidat lorsque l’existence seule ne suffit pas.