GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Sylvester
Quatre résultats portent ce nom. Tout ensemble fini de points du plan non tous colinéaires détermine une droite qui en contient exactement deux ; pour toute forme quadratique réelle de dimension finie, les nombres de carrés positifs et négatifs d’une diagonalisation sont invariants et forment sa signature. Deux polynômes non nuls sur un corps ont un facteur commun non constant si et seulement si leur résultant est nul ; enfin, pour tout entier k > 0, le produit de k entiers consécutifs supérieurs à k est divisible par un nombre premier supérieur à k.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les quatre résultats appelés théorème de Sylvester.
- Reconnaître les hypothèses propres à chaque domaine.
- Vérifier sur cinq points qu’une droite est ordinaire.
- Relier le résultant nul à l’existence d’un facteur polynomial commun.
En clair
Placez cinq points sur une feuille, sans qu’ils soient tous alignés. Parmi les droites qui joignent deux points, l’une au moins ne rencontrera aucun troisième point de la collection. Une telle droite, qui contient exactement deux des points choisis, est dite ordinaire.
Ce résultat géométrique est l’un des théorèmes appelés « de Sylvester ». Le même nom recouvre aussi trois résultats d’algèbre ou d’arithmétique : une loi sur les formes quadratiques, un critère sur les polynômes et un énoncé sur les diviseurs premiers.
Définition
L’expression théorème de Sylvester ne nomme pas un résultat unique. En géométrie, le problème posé en 1893 affirme que tout ensemble fini de points du plan, dès qu’ils ne sont pas tous colinéaires, détermine une droite contenant exactement deux de ces points. Eberhard Melchior en a donné une démonstration en 1940 et Tibor Gallai en 1944.
En algèbre réelle, la loi d’inertie concerne une forme quadratique Q sur un espace vectoriel E de dimension finie. Une base permet d’écrire Q comme une somme de p carrés positifs et de q carrés négatifs. Les nombres p et q ne changent pas quand on choisit une autre base adaptée : le couple (p, q) est la signature de Q. En algèbre polynomiale, deux polynômes non nuls P et Q sur un corps ont un diviseur commun non constant exactement lorsque le déterminant de leur matrice de Sylvester, appelé résultant, est nul.
En arithmétique, une autre assertion attribuée à Sylvester généralise le postulat de Bertrand démontré par Tchebychev : le produit de k entiers consécutifs, tous strictement supérieurs à k, possède un diviseur premier strictement supérieur à k. Le contexte — géométrie, formes quadratiques, polynômes ou nombres premiers — est donc indispensable pour savoir quel théorème est visé.
Le principe
Géométrie. Si un ensemble fini de points du plan n’est pas colinéaire, alors une droite passe par exactement deux de ses points. Formes quadratiques réelles. Pour une forme Q sur un espace E de dimension finie, il existe une base dans laquelle :
Le couple (p, q) est invariant. Polynômes. Deux polynômes non nuls sur un corps ont un facteur commun non constant si et seulement si leur résultant est nul. Arithmétique. Le produit de k entiers consécutifs tous supérieurs à k est divisible par un nombre premier supérieur à k.
Quand l'utiliser
Chaque version a son domaine. Pour la version géométrique, la collection doit être finie, contenir des points du plan et ne pas être entièrement alignée. Si tous les points sont sur une même droite, chaque droite déterminée par deux d’entre eux contient toute la collection : la conclusion est alors bloquée.
La loi d’inertie exige un espace vectoriel réel de dimension finie et une forme quadratique réelle ; les éventuels termes nuls ne comptent ni dans p ni dans q. Le critère du résultant porte sur deux polynômes non nuls à coefficients dans un même corps. Enfin, la version arithmétique suppose k entier et un bloc de k entiers consécutifs, chacun strictement supérieur à k. Changer de cadre impose d’utiliser le théorème adapté plutôt que de transférer automatiquement la conclusion.
Un exemple, pas à pas
Considérons les cinq points A(0, 0), B(4, 0), C(1, 2), D(3, 3) et E(0, 4) dans un repère du plan. Ils forment une collection finie et ne sont pas tous alignés : A, B et C ne le sont déjà pas.
1. La droite passant par A et B a pour équation y = 0.
2. Les ordonnées de C, D et E valent respectivement 2, 3 et 4.
3. Aucun de ces trois points n’appartient donc à la droite y = 0.
4. Cette droite contient exactement A et B parmi les cinq points.
2. Les ordonnées de C, D et E valent respectivement 2, 3 et 4.
3. Aucun de ces trois points n’appartient donc à la droite y = 0.
4. Cette droite contient exactement A et B parmi les cinq points.
La droite (AB) est ainsi une droite ordinaire. Le contrôle est refaisable sans dessin : il suffit de remplacer les coordonnées de chaque point dans y = 0. Cet exemple exhibe la droite promise ; le théorème affirme qu’une telle droite existe pour toute collection finie non colinéaire, même lorsqu’elle est moins évidente à repérer.
En pratique
En géométrie combinatoire, on cherche une droite ordinaire lorsqu’une configuration finie de points n’est pas entièrement alignée. Un simple test d’appartenance permet ensuite de vérifier qu’aucun troisième point de la collection ne se trouve sur la droite candidate.
Pour une forme quadratique réelle, on réduit l’expression dans une base adaptée, puis on compte les carrés positifs et négatifs. La signature ainsi obtenue sert à comparer la nature de la forme malgré un changement de base.
Pour deux polynômes non nuls, on construit leur matrice de Sylvester et on calcule son déterminant. Un déterminant nul signale un facteur commun non constant ; si l’on veut connaître ce facteur, il faut ensuite employer un calcul de plus grand commun diviseur.
À ne pas confondre
Le problème géométrique de Sylvester ne se confond pas avec la loi d’inertie de Sylvester. Le premier porte sur des points et cherche une droite ordinaire ; la seconde porte sur une forme quadratique réelle et produit une signature. Une donnée faite de coordonnées de points relève du premier, tandis qu’une expression en carrés relève de la seconde.
Le résultant n’est pas le plus grand commun diviseur de deux polynômes non nuls. Le résultant est un scalaire : sa nullité dit seulement qu’un facteur commun non constant existe. Le calcul du plus grand commun diviseur identifie ce facteur.
La version arithmétique de Sylvester ne se réduit pas au postulat de Bertrand. Le postulat concerne l’existence d’un nombre premier dans un intervalle, tandis que l’énoncé de Sylvester impose qu’un grand nombre premier divise le produit d’un bloc de k entiers consécutifs.
Limites et pièges
Points tous colinéaires. L’hypothèse géométrique échoue : avec trois points ou plus sur une même droite, la droite déterminée contient plus de deux points. Il faut constater ce cas avant de chercher une droite ordinaire.
Termes nuls d’une forme quadratique. Si la dimension de E dépasse p + q, les directions restantes donnent des carrés de coefficient nul. Elles appartiennent au noyau et ne doivent être comptées ni comme positives ni comme négatives ; la signature reste le couple (p, q).
Résultant nul. Pour deux polynômes non nuls sur un même corps, ce verdict garantit un diviseur commun non constant, mais ne donne ni son degré ni ses coefficients. Il faut calculer un plus grand commun diviseur polynomial pour les obtenir.
Nom sans contexte. Écrire seulement « théorème de Sylvester » laisse quatre lectures possibles. Le domaine et les objets manipulés doivent accompagner le nom : points, forme quadratique, polynômes ou produit d’entiers consécutifs.
Pour aller plus loin
La signature d’une forme quadratique approfondit l’invariance du nombre de carrés positifs et négatifs après changement de base.
Le résultant détaille le critère qui détecte l’existence d’un facteur polynomial commun.
La matrice de Sylvester montre comment le déterminant est construit à partir des coefficients des deux polynômes.
La fiche sur le nombre premier fournit le vocabulaire nécessaire pour lire la version arithmétique du théorème.
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