principe d'inertie de Sylvester

Imaginez un solide que l'on fait tourner à la même vitesse autour de plusieurs directions. Certaines rotations demandent moins d'énergie que d'autres, car la matière n'est pas répartie de la même façon autour de chaque axe.

Les axes principaux d'inertie sont les directions privilégiées qui séparent ces comportements. À chacun correspond un moment d'inertie. Pour une vitesse angulaire fixée, un grand moment d'inertie donne une grande énergie de rotation. L'idée de Sylvester est plus générale : un changement de coordonnées simplifie une quantité quadratique sans modifier le nombre de directions positives, négatives ou nulles.

La loi d'inertie de Sylvester concerne une forme quadratique réelle, c'est-à-dire une expression homogène de degré deux. Après un changement de base inversible, toute forme quadratique peut s'écrire comme une somme de carrés positifs, de carrés négatifs et de termes nuls. Si les entiers p, q et r désignent leurs nombres respectifs, le triplet (p, q, r) ne dépend pas du changement de base. Il décrit l'inertie de la forme ; le couple (p, q) est souvent appelé sa signature.

Pour un solide rigide observé autour de son centre de masse, l'énergie cinétique de rotation est une forme quadratique de la vitesse angulaire. Le vecteur ω désigne cette vitesse et la matrice symétrique I représente le tenseur d'inertie : $T=\frac{1}{2}{\omega }^{\mathsf{T}}I\omega T=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash omega^\{\backslash mathsf\; T\}I\backslash omega$. Dans une base orthonormée d'axes principaux, la matrice I est diagonale. Ses vecteurs propres donnent les axes principaux et ses valeurs propres, toutes positives pour un solide tridimensionnel non dégénéré, sont les moments principaux d'inertie.

La loi de Sylvester garantit l'invariance du nombre de signes sous congruence ; elle ne dit pas que les valeurs propres restent inchangées sous tout changement de coordonnées. En mécanique, l'identification des axes et moments principaux utilise aussi le théorème spectral des matrices symétriques. À vitesse angulaire fixée le long d'un axe principal, l'énergie est proportionnelle, et non inversement proportionnelle, au moment d'inertie correspondant. Le même langage quadratique intervient pour l'énergie élastique et pour certaines analyses géométriques de données multidimensionnelles.

Considérons un solide dont les axes principaux sont x, y et z. Dans cette base, ses moments principaux valent respectivement 2, 3 et 4 kg·m². On veut comparer l'énergie nécessaire pour une vitesse angulaire de norme 3 rad/s portée successivement par chacun des trois axes.

1. La matrice d'inertie est déjà diagonale : Ses trois directions coordonnées sont donc des vecteurs propres.

2. Autour de l'axe x, le calcul donne $T_x=\frac{1}{2}\times 2\times 3^2=9\mathrm{J}T\_x=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times2\backslash times3^2=9\backslash ;\backslash mathrm\; J$.
3. Autour de l'axe y, il donne $T_y=\frac{1}{2}\times 3\times 3^2=\mathrm{13,5}\mathrm{J}T\_y=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times3\backslash times3^2=13\{,\}5\backslash ;\backslash mathrm\; J$.
4. Autour de l'axe z, il donne $T_z=\frac{1}{2}\times 4\times 3^2=18\mathrm{J}T\_z=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash times4\backslash times3^2=18\backslash ;\backslash mathrm\; J$.

Le même solide et la même vitesse conduisent donc à trois énergies différentes. Le contrôle est immédiat : doubler le moment de 2 à 4 kg·m² double l'énergie de 9 à 18 J. La figure résume cette proportion et rend visibles les trois axes privilégiés.

En mécanique des solides, on diagonalise le tenseur d'inertie pour choisir des axes principaux. Ce repère est préférable à un repère arbitraire lorsque des termes croisés compliquent le calcul de l'énergie ou du moment cinétique.

En élasticité linéaire, une énergie quadratique décrit de petites déformations. L'étude de ses signes sert à tester la stabilité : une direction négative signale qu'une variation peut faire diminuer l'énergie au lieu de restaurer l'équilibre. Un modèle non linéaire devient nécessaire si les déformations ne restent pas petites.

En analyse de données, une matrice de covariance symétrique résume les variations conjointes de plusieurs critères. Ses directions propres donnent alors des axes de lecture non corrélés. Cette approche est utile lorsque les variables initiales se recouvrent ; les variables brutes restent préférables si leur interprétation directe suffit.

Loi d'inertie de Sylvester et principe d'inertie de Newton. La première classe les signes d'une forme quadratique après changement de base. Le second affirme qu'un corps conserve son mouvement rectiligne uniforme lorsque la résultante des forces est nulle. Une question portant sur les forces relève de Newton, non de la signature d'une matrice.

Inertie d'une forme et moments principaux d'inertie. L'inertie de Sylvester est le nombre de directions positives, négatives et nulles. Les moments principaux sont des valeurs propres mesurées en kg·m². Deux matrices positives peuvent avoir la même inertie tout en possédant des moments principaux différents.

Diagonalisation orthogonale et réduction par congruence. Une matrice symétrique se diagonalise par une base orthonormée, ce qui conserve ses valeurs propres. Une congruence générale conserve seulement les nombres de signes. Si l'on demande les axes physiques du solide, il faut une diagonalisation orthogonale du tenseur d'inertie.

Valeur propre multiple. Si deux moments principaux sont égaux, aucun axe unique n'est distingué dans le plan propre correspondant. Le symptôme est une infinité de bases propres possibles dans ce plan. Il faut parler d'un sous-espace principal, et non attribuer une direction unique à la géométrie.

Corps dégénéré. Pour une distribution de masse entièrement portée par une droite, le moment autour de cette droite peut être nul. La forme d'énergie n'est alors que positive semi-définie. Il faut conserver le nombre de directions nulles dans l'inertie au lieu de supposer trois valeurs strictement positives.

Origine mal choisie. Un tenseur calculé autour d'un point différent du centre de masse ne décrit pas les mêmes moments. Des termes supplémentaires apparaissent avec la distance entre les axes. Il faut fixer le point de référence avant de comparer deux résultats.

Proportion inversée. À vitesse angulaire fixée, l'énergie de rotation croît avec le moment d'inertie. Dans l'exemple, le cas charnière entre les valeurs extrêmes est net : 2 kg·m² donnent 9 J et 4 kg·m² donnent 18 J. Une relation inverse peut apparaître sous une autre contrainte, par exemple à moment cinétique fixé ; il faut donc annoncer la grandeur maintenue constante.

La signature d'une forme quadratique précise comment compter les directions positives et négatives qui demeurent invariantes après réduction.

La fiche valeur propre approfondit les nombres associés aux directions que l'opérateur ne dévie pas.

La fiche Vecteur propre détaille les directions privilégiées utilisées pour construire les axes principaux.

L'article Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire replace opérateurs, noyaux et changements de base dans leur cadre général.